صفحه اصلی

صفحه شخصی مسعود اقدسی‌فام
الگوریتمستان - آموخته‌های من از دنیای برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم
● وب‌سایت آرشیو سوالات منطقه‌ای و جهانی مسابقات برنامه‌نویسی ACM-ICPC، با امکان ارسال پاسخ و بررسی جواب.
● علاقمندان به شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی و حل سوالات الگوریتمی می‌توانند از این وب‌سایت معتبر به همراه کتاب معرفی شده جهت تمرین و آمادگی بیشتر استفاده کنند.

الگوریتمستان
آشنایی با روش Divide and Conquer (تقسیم و حل / تقسیم و غلبه) و کاربردهای آن در مرتب‌سازی، جستجو و حل مسائل الگوریتمی دیگر
الگوریتمستان
بررسی مساله حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
الگوریتمستان
آشنایی با توابع دوست کلاس در زبان برنامه‌نویسی ++C و کاربرد آنها در سربارگذاری عملگرها
الگوریتمستان
آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه حاصلضرب ماتریس‌ها
الگوریتمستان
آشنایی با روش حریصانه و کاربردهای آن مانند مساله خرد کردن پول
الگوریتمستان
بررسی سوال مسابقات برنامه‌نویسی Turn for MEGA، و راه حل آن
الگوریتمستان
بررسی مساله برج هانوی و روش‌های حل بازگشتی و غیربازگشتی آن
الگوریتمستان
آشنایی با دنباله عددی کاتالان، کاربردها و روش پیاده‌سازی آن به زبان برنامه‌نویسی ++C
الگوریتمستان
بررسی معمای هشت وزیر یا n وزیر و راهبرد عقبگرد برای حل مساله
الگوریتمستان
آشنایی با روش مرتب‌سازی ادغامی با قطعه کدهایی به زبان برنامه‌نویسی ++C
الگوریتمستان
آشنایی با قالب‌ها به عنوان یکی از امکانات متمایز ++C از C
الگوریتمستان
عناوین بخشی از مباحث پرکاربرد در سوالات مسابقات برنامه‌نویسی
الگوریتمستان
بررسی مساله Simple Addition، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
الگوریتمستان
بحث در مورد مساله کاشی‌کاری یا فرش کردن زمین با موزاییک به روش تقسیم و حل

»   محاسبه دترمینان ماتریس یکشنبه، 17 بهمن ماه 1389، ساعت 14:16

دترمینان ماتریس مربعی - که به صورت | A | یا ( det( A نمایش داده می‌شود - یکی از مفاهیم مشهور جبر خطی است که کاربردهای بسیاری در علوم مختلف دارد. امکان محاسبه سریع دترمینان یک ماتریس با ابعاد بزرگ، بحث مهمی است، که در ادامه سه روش محاسباتی رایج و پیچیدگی زمانی آنها مرور خواهند شد.

طبق تعریف دترمینان، اگر اندازه ابعاد ماتریس مربعی یک باشد (n = 1)، دترمینان همان مقدار تک‌عضو آن است. یعنی:

 

محاسبه دترمینان ماتریس

 

اما اگر مرتبه ماتریس بزرگتر از یک باشد (n > 1)، دترمینان را به یکی از روش‌های زیر می‌توان محاسبه کرد.

 

ماتریس

 

 

بسط لاپلاس دترمینان

بسط لاپلاس (یا بسط همسازه‌ای) برای محاسبه دترمینان ماتریس مرتبه n، به فرم زیر است:

 

بسط لاپلاس دترمینان

 

یا

 

بسط لاپلاس دترمینان

 

که در حالت اول، بسط بر اساس سطر دلخواه i، و در حالت دوم بر اساس ستون دلخواه j صورت گرفته است. منظور از Aij (ماتریس کهاد)، ماتریسی است که از حذف سطر iام و ستون jام ماتریس اصلی به دست آمده است.

به عنوان مثال، اگر ماتریس مربعی A به صورت زیر تعریف شده باشد:

 

ماتریس

 

دترمینان آن، با بسط روی سطر اول، به این ترتیب محاسبه می‌شود:

 

 

بسط لاپلاس دترمینان

 

و با بسط روی ستون دوم:

 

بسط لاپلاس دترمینان

 

توجه داشته باشید که منظور از | | علامت قدرمطلق نیست.

انتخاب سطر یا ستون مناسب برای محاسبه دترمینان با استفاده از این روش، وابسته به مقادیر درایه‌های آن است. به عنوان مثال، اگر تعداد درایه‌های صفر یک سطر یا یک ستون زیاد باشد، بهتر است از آن سطر یا ستون برای بسط استفاده کنیم. مثلا در ماتریس زیر، بهتر است از ستون اول برای بسط استفاده کنیم:

 

بسط لاپلاس دترمینان

 

پیچیدگی زمانی بسط لاپلاس

همانطور که از تعریف مشخص است، در روش بسط لاپلاس، محاسبه دترمینان یک ماتریس مرتبه n، به محاسبه دترمینان n ماتریس کهاد از مرتبه n - 1 شکسته می‌شود. اگر عمل اصلی محاسبات را اعمال ضرب و جمع در نظر گرفته، و ( T1( n تعداد این اعمال را برای محاسبه دترمینان ماتریس مرتبه n به روش بسط لاپلاس نشان دهد، می‌توان نوشت:

 

T1( n ) = n T1( n - 1 ) + n + n + n - 1 = n T1( n - 1 ) + 3n - 1      ,      T1( 1 ) = 0

 

( n T1( n - 1: تعداد اعمال لازم برای محاسبه زیر مسائل

n: تعداد ضرب‌های بین aij و توان‌های زوج یا فرد منفی یک

 n: تعداد ضرب‌های بین aij و ( det( Aij

n - 1: تعداد جمع‌های لازم برای محاسبه نهایی

 

حل این رابطه بازگشتی نشان می‌دهد که ( T1( n از مرتبه ( !O( n است، که برای nهای بزرگ کارایی ندارد.

 

 

روش گاوس

برای محاسبه دترمینان یک ماتریس مربعی، خواصی وجود دارد که به اعمال مقدماتی سطری و ستونی مشهور بوده، و عموما از روش بسط لاپلاس ثابت می‌شوند. تعدادی از این خواص به شرح زیر هستند:

1- جابجا کردن دو سطر (یا دو ستون) ماتریس، مقدار دترمینان را قرینه می‌کند. در مثال زیر، جای سطر اول و دوم عوض شده است:

 

اعمال سطری و ستونی مقدماتی دترمینان ماتریس

 

2- اگر تمام درایه‌های یک سطر (یا یک ستون) ماتریس در عددی مانند k ضرب شود، حاصل دترمینان نیز k برابر می‌شود. در مثال زیر، سه برابر بودن درایه‌های متناظر سطر دوم ماتریس سمت چپ، نسبت به سطر دوم ماتریس سمت راست، مقدار دترمینان آن را نیز سه برابر کرده است:

 

اعمال سطری و ستونی مقدماتی دترمینان ماتریس

 

3- اگر ضریب ثابتی از درایه‌های یک سطر (یا یک ستون) ماتریس به سطر (یا ستون) دیگری اضافه شود، مقدار دترمینان تغییر نمی‌کند. در مثال زیر، پنج برابر سطر اول به سطر سوم اضافه شده است:

 

اعمال سطری و ستونی مقدماتی دترمینان ماتریس

 

4- دترمینان یک ماتریس مثلثی (ماتریسی که تمامی درایه‌های بالای قطر اصلی یا پایین قطر اصلی و یا هر دو صفر باشند) برابر حاصلضرب درایه‌های قطر اصلی آن است:

 

اعمال سطری و ستونی مقدماتی دترمینان ماتریس

 

5- ماتریسی که تمامی درایه‌های یک سطر (یا یک ستون) آن صفر باشد، دترمینان آن نیز صفر خواهد بود:

 

اعمال سطری و ستونی مقدماتی دترمینان ماتریس

 

در روش گاوس مراحل زیر انجام می‌شود:

مرحله اول: اگر درایه سطر اول و ستون اول صفر است، سطری را که مقدار درایه ستون اول آن صفر نباشد به سطر اول منتقل می‌کنیم. این عمل مقدار دترمینان را تغییر علامت می‌دهد. اگر چنین سطری یافت نشد، یعنی تمامی درایه‌های ستون اول صفر هستند. پس بنا به خاصیت شماره پنج، مقدار دترمینان صفر شده، و انجام مراحل بعدی نیاز نیست.

مرحله دوم: ضریب مناسبی از مقدار درایه سطر اول و ستون اول را که درایه ستون اول هر سطر را صفر کند، به هر سطر به صورت مجزا اضافه می‎کنیم. اگر مقدار درایه ستون اول آن ستون، از قبل صفر باشد، نیاز به انجام عمل خاصی نیست. این عمل مقدار دترمینان را تغییر نمی‌د‌هد.

در مثال زیر، ستون اول سطر دوم مقدار صفر دارد. پس نیاز به انجام عملیات خاصی نیست. اما مقدار درایه ستون اول سطر سوم غیرصفر است. پس با اضافه کردن ضریب مناسبی از درایه‌های سطر اول به این سطر، مقدار آن را نیز صفر می‌کنیم. مقدار این ضریب با توجه به مقدار درایه سطر اول و ستون اول مشخص می‌شود، که در این مثال منفی دو است:

 

روش گاوس برای محاسبه دترمینان

 

مرحله سوم: در ماتریس به دست آمده، ستون اول آن، به غیر از سطر اول همه صفر هستد. بسط لاپلاس دترمینان ماتریس را بر اساس ستون اول انجام می‌دهیم:

 

روش گاوس برای محاسبه دترمینان

 

مرحله چهارم: محاسبه دترمینان ماتریس از مرتبه n به محاسبه دترمینان ماتریس مرتبه n - 1 تقلیل یافته است. با ادامه این مراحل برای این ماتریس، تا رسیدن به ماتریسی از مرتبه یک، مقدار دترمینان اصلی محاسبه می‌شود:

 

روش گاوس برای محاسبه دترمینان

 

پیچیدگی زمانی روش گاوس

اعمال ضرب و جمع را اعمال اصلی این روش در نظر گرفته، و ( T2( n را تعداد این اعمال برای محاسبه دترمینان به روش گاوس تعریف می‌کنیم. برای صفر کردن ستون اول هر سطر، ضریب مشخصی را محاسبه می کنیم، که به یک عمل تقسیم (هم‌ارز ضرب) نیاز دارد. سپس حاصلضرب این ضریب در درایه‌های سطر اول را به درایه‌های متناظر آن سطر اضافه می‌کنیم. در نتیجه این مرحله برای هر سطر n عمل ضرب و n عمل جمع دارد، که برای n - 1 سطر باید اعمال شود. در پایان نیز با بسط لاپلاس روی ستون اول و یک عمل ضرب، به محاسبه دترمینان مرتبه n - 1 می‌رسیم. پس می‌توان نوشت:

 

T2( n ) = 1 + ( n - 1 ) ( n + n ) + T2( n - 1 ) + 1 = T2( n - 1 ) + 2n2 - 2n + 2      ,      T2( 1 ) = 0

 

چنین رابطه بازگشتی از مرتبه ( O( n3 است، که بهبود چشمگیری در مقایسه با روش بسط لاپلاس با مرتبه ( !O( n دارد.

در واقع هدف از این الگوریتم، تبدیل ماتریس به یک ماتریس بالامثلثی (یا پایین‌مثلثی)، با استفاده از عملیات مقدماتی سطری و ستونی است. طبق خاصیت چهارم، مقدار دترمینان چنین ماتریسی برابر حاصلضرب درایه‌های قطر اصلی آن است:

 

روش گاوس برای محاسبه دترمینان

 

پیاده‌سازی چنین الگوریتمی به سه حلقه تکرار تو در تو نیاز دارد، که با یک حساب سرانگشتی مرتبه‌ ( O( n3 را نشان می‌دهد.

توجه: در برخی منابع این روش با عنوان گاوس-جردن معرفی می‌شود.

 

 

روش تحویل

در بخش ضمیمه کتاب «حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی» نوشته «جرج بی. توماس» و «راس ال. فینی»، فرمول تحویل از مقاله میلر به صورت زیر بیان شده است:

 

فرمول تحویل برای محاسبه دترمینان

 

یا به عبارت دیگر:

 

فرمول تحویل برای محاسبه دترمینان

 

به عنوان مثال:

 

فرمول تحویل برای محاسبه دترمینان

 

واضح است که برای چنین محاسبه باید a11 غیر صفر باشد. اگر اینچنین نبود، طبق اعمال مقدماتی سطر و ستون باید با جابجایی سطرها مقدار آن را غیر صفر کرد.

این فرمول، مساله از مرتبه n را به یک زیر مساله از مرتبه n - 1، و  n - 1 )2 ) زیر مساله از مرتبه 2 تبدیل می‌کند.

 

پیچیدگی زمانی فرمول تحویل

اگر ( T3( n تعداد اعمال ضرب و جمع برای محاسبه به این روش باشد، می‌توان نوشت:

 

T3( n ) = n - 1 + T3( n - 1 ) + ( n - 1 )2 T3( 2 ) = T3( n - 1 ) + 3n2 - 5n + 2      ,      T3( 2 ) = 3

 

 n - 1: تعداد تقسیم و ضرب‌های (یک تقسیم و n - 2 ضرب) لازم برای محاسبه توان (n- 2)ام معکوس a11 و ضرب آن در دترمینان

( T3( n - 1: تعداد اعمال لازم برای حل زیر مساله

( n - 1 )2 T3( 2 ): تعداد اعمال لازم برای محاسبه درایه‌های ماتریس زیر مساله

 

حل این رابطه بازگشتی نیز مرتبه پیچیدگی ( O( n3 را نشان می‌دهد.

 

مقایسه روش‌های سه‌گانه

1- محاسبه پیچیدگی زمانی روش‌های سه‌گانه فوق نشان می‌دهد، کارآیی زمانی دو روش گاوس و فرمول تحویل تقریبا یکسان بوده، و بسیار بهتر از روش بسط لاپلاس هستند.

2- فضای مصرفی هر سه روش در صورت پیاده‌سازی بهینه آنها، همان فضای لازم برای ذخیره یک ماتریس مربعی از مرتبه n است.

3- هر سه روش ظاهری بازگشتی - با روش تقسیم و غلبه - دارند، که حل مساله از مرتبه n را به حل زیرمساله یا زیرمسائلی از مرتبه n - 1 تقسیم می‌کنند. اما پیاده‌سازی غیربازگشتی این روش‌ها نیز ممکن است، که در روش گاوس توضیح مختصری داده شد.

4- بر اساس روش بسط لاپلاس، و با استفاده از استقرای ریاضی، می‌توان ثابت کرد که اگر تمامی درایه‌های یک ماتریس مربعی اعداد صحیح باشند، دترمینان آن نیز عدد صحیح خواهد بود. روش بسط لاپلاس صحیح بودن عدد دترمینان را در این شرایط تضمین می‌کند. چرا که تنها از اعمال جمع و ضرب تشکیل شده است، که صحیح بودن عدد را تغییر نمی‌دهند. اما دو روش دیگر - با توجه به این که شامل عمل تقسیم نیز هستند - در زمان پیاده‌سازی ممکن است خطای محاسباتی ایجاد کنند. چرا که اکثر زبان‌های برنامه‌نویسی اعداد را به دو فرم صحیح یا اعشاری - با دقت مشخص - ذخیره می‌کنند. بنابراین اعداد گویای غیرصحیح به صورت تقریبی ذخیره شده، و در محاسبات هم به همان صورت تقریبی به کار می‌روند.

دترمینان ماتریس A را که توسط بسط لاپلاس محاسبه کردیم، با استفاده از روش گاوس و با فرض ذخیره اعداد گویا به صورت اعشاری - با دقت شش رقم - مجددا محاسبه می‌کنیم:

 

روش گاوس برای محاسبه دترمینان ماتریس

 

این مساله زمانی اهمیت دارد که محاسبه دقیق مد نظر بوده، و امکان انجام عملیات حسابی روی اعداد گویا وجود نداشته باشد.

‌چاپ مطلب
نسخه قابل چاپ مشاهده نسخه قابل چاپ و ارسال به چاپگر
به اشتراک گذاری مطلب
FriendFeed       Twitter       Facebook       Cloob
آمار
تعداد امتیازهای ثبت شده:  101 ،  میانگین امتیازهای ثبت شده:  4.42 از 5.00
‌برچسب‌ها
طراحی الگوریتم‌ها ، روش تقسیم و غلبه ، محاسبات ریاضی
امتیاز مطلب
1 2 3 4 5
ارسال پیام
» hedieh

دوشنبه، 23 اسفند ماه 1389، ساعت 21:33
rastesh man terme 2 bargham! khodetoon midoonid bara hale madar bayad determinan balad bashi! khola3 ma ham yademoon rafte bood!
alan besyar azatoon mamnoonam!

» سفدر

سه‌شنبه، 6 اردیبهشت ماه 1390، ساعت 20:03
خیلی ممنون دوست من. عالی بود . به خصوص روش تحول.

» محسن

چهارشنبه، 4 خرداد ماه 1390، ساعت 23:16
درود بر شما
سپاس از مطالب مفیدی که در سایت قرار می دهید.
اگر ممکن است الگوریتم حل دستگاه های چند معادله و چند مجهولی را بگذارید.

» هادی

شنبه، 28 آبان ماه 1390، ساعت 15:27
از مطلب خوب شما استفاده کردم ممنون
موفق باشید

» ساسان

دوشنبه، 28 آذر ماه 1390، ساعت 12:40
با سلام وتشكر از مطالب مفيدتان .لطفا كمي هم از برنامه نويسي
بااستفاده از توابع بازگشتي مطلب و مثال بگذاريد.ممنون!

» میترا

دوشنبه، 19 دی ماه 1390، ساعت 16:33
با تشکر,بسیار مفید بود,موفق باشید

» فرهاد

سه‌شنبه، 4 بهمن ماه 1390، ساعت 10:43
ممنون بسیار مفید بود

» بهنام

جمعه، 7 بهمن ماه 1390، ساعت 09:58
سلام
دستت درد نکنه این مطلب خیلی به کارم اومد
موفق باشی

» سامان

شنبه، 15 بهمن ماه 1390، ساعت 03:40
ممنون

» مهرداد

یکشنبه، 16 بهمن ماه 1390، ساعت 09:26
سلام
مطالب مفید بودند،ممنون. اگه میتونید نحوه ذخیره سازی و عملیات معکوس گیری از ماتریسهای با درایه های اعداد مختلط رو هم توضیح بدید.
(ترجیحا در "C")

» arash

سه‌شنبه، 29 فروردین ماه 1391، ساعت 19:20
سلام
می خواستم دستوراضافه کردن دو ماتری به هم در مطلب رو بدونم
مثلا 2 فایل txt به صورت ماتریسی بشت سر هم به هم اضافه شوند.جمع نشند ها.
برای مثال
m*n   و    p*n   بشوند p+m*n  
اول ماتریس m*n بعد پشت سرش ماتریسp*n  
mamnoon

» samira

سه‌شنبه، 25 مهر ماه 1391، ساعت 21:20
ali bod kheyli estefade kardam

» سمانه

یکشنبه، 7 آبان ماه 1391، ساعت 22:51
یک روش ساده تر هم وجود داره که اینجا ذکر نشده.
نمیدونم چرا؟
اما منم جزئیاتشو فراموش کردم و اومدم پیداش کنم که متاسفانه نبود.

» مسعود اقدسی‌فام

یکشنبه، 7 آبان ماه 1391، ساعت 22:57
اگه پیدا کردید بگید تا من هم آشتا بشم.
البته روش ساروس هم وجود داره که مختص ماتریس‌های سه در سه هستش.

» abd

دوشنبه، 30 بهمن ماه 1391، ساعت 23:53
آیا روشی برای محاسبه ی دترمینان ماتریس چهار در چهار وجود داره؟
با تشکر

» سمانه

سه‌شنبه، 8 اسفند ماه 1391، ساعت 15:14
سلام لطفا روش ریاضی حل معکوس ماتریس مربعی را هم بگذارید.
از طرف دانشجوی عاجز ترم اول ارشد برق

» مسعود

دوشنبه، 21 اسفند ماه 1391، ساعت 13:20
سلام
خسته نباشید
میشه به این سوال من جواب بدید؟
الگوریتمی بنویسید که شعاع و مرکز دایره را بگیرد ان را در سیستم رستری رم کند
اگر کمکم کنید یه دنیا ممنونتون میشم
باتشکر

» مهناز

یکشنبه، 5 خرداد ماه 1392، ساعت 21:08
سلام
ممکنه راهنمای کنید که اگر بخواهیم یک ماتریس تبدیل خطی طراحی کنیم که با داشتن مقسوم و مقسوم علیه باقیماندهو خارج قسمت تقسیم به پیمانه 2 را تولید کند ، چه باید کرد؟
ممنونم

» سجاد

شنبه، 23 آذر ماه 1392، ساعت 23:50
با سلام
برنامه ای در محیط سی بنویسید که یک ماترس 2*2 را از ورودی گرفته و مقادیر ویژه آن را محاسبه کند.
فقط خیلی عجله دارم ممنون میشم راهنماییم کنی دوست عزیز

» مصطفی

سه‌شنبه، 29 بهمن ماه 1392، ساعت 11:54
سلام
میخاستم بدونم روش ساروس برای ماتریسn*nوجود داره میشه برام ایمیل کنیی البته اگه وجود داره
ممنون

» رضا آدم پیرا

چهارشنبه، 6 فروردین ماه 1393، ساعت 19:49
سلام
میخاستم بدونم روش حل ماتریس سه قطری بلوکی به روش توماس رو دارید ؟
اگر مقدوره براتون بهمراه کدc++  برام میل کنید.
ممنون



دوست عزیزم، لطفا قبل از ارسال پیام به موارد زیر توجه داشته باشید:

1- تا حد ممکن از حروف فارسی برای نگارش پیام خود استفاده کنید. امکان ارسال پیام لاتین و کدهای برنامه‌نویسی با چیدمان چپ به راست نیز وجود دارد.
2- به درخواست پروژه‌های آماده و موارد مشابه پاسخ داده نخواهد شد.
3- از قرار دادن هرگونه نشانی یا شماره تماس در متن پیام خودداری کنید.
4- از ارسال پیام‌های تبلیغاتی خودداری کنید.
5- از ارسال سوال و پیام غیرمرتبط با مطلب ارائه شده خودداری کنید.
6- لطفا نظر خود را در مورد مطلب ارائه شده، با ثبت امتیاز مشخص نمایید.

پیشاپیش از همکاری شما سپاسگذارم.


نام:  
پست الکترونیک
وب‌سایت:
متن پیام: