صفحه‌ی اصلی

صفحه‌ی شخصی مسعود اقدسی‌فام
الگوریتمستان - برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم
RSS Feed
● وب‌گاه مجموعه سوالات منطقه‌ای و جهانی مسابقات برنامه‌نویسی ACM-ICPC، با امکان ارسال پاسخ و بررسی جواب.
● علاقه‌مندان به شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی و حل سوالات الگوریتمی می‌توانند از این وب‌گاه معتبر به همراه کتاب‌های معرفی شده جهت تمرین و آمادگی بیشتر استفاده کنند.
امروز: شنبه، 16 اسفند ماه 1393 ، کاربران حاضر در وب‌گاه: 2 نفر
جستجو در نوشته‌های وب‌گاه:   
بررسی مسأله‌ی برج هانوی و روش‌های حل بازگشتی و غیربازگشتی آن
بررسی روش‌های مختلف محاسبه‌ی ضرایب دوجمله‌ای نیوتن یا ترکیب دو عدد با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با روش Divide and Conquer (تقسیم و حل / تقسیم و غلبه) و کاربردهای آن در مرتب‌سازی، جستجو و حل مسائل الگوریتمی دیگر
آشنایی با روش مرتب‌سازی سریع، همراه با قطعه کدهای نمونه به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه‌‌ی حاصلضرب ماتریس‌ها
معرفی کتاب Programming Challenges برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی با قابلیت دانلود
آشنایی با روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا - Dynamic Programming) به عنوان یکی از روش‌های پر کاربرد طراحی الگوریتم برای حل بهینه‌ی مسائل با مثالی از محاسبه‌ی دنباله‌ی فیبوناچی
آشنایی با روش مرتب‌سازی هرمی (Heap Sort)
آشنایی با روش مرتب‌سازی درجی، همراه با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با روش مرتب‌سازی انتخابی،همراه با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
بررسی روش‌های بسط لاپلاس، گاوس، فرمول تحویل و ساروس، برای محاسبه‌ی دترمینان ماتریس مربعی، و پیچیده‌گی زمانی آنها
آشنایی با روش مرتب‌سازی ادغامی با قطعه کدهایی به زبان برنامه‌نویسی ++C
بحث در مورد ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و روش پیاده‌سازی الگوریتم پرانتزبندی بهینه‌ی آن با روش تقسیم و حل و روش برنامه‌نویسی پویا
بررسی مسأله‌ی حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
معرفی کتاب Art of Programming Contest برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی با قابلیت دانلود
آشنایی با دنباله‌ی عددی کاتالان، کاربردها و روش پیاده‌سازی آن به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با روش حریصانه و کاربردهای آن مانند مسأله‌ی خرد کردن پول
آشنایی با روش مرتب‌سازی حبابی و بحث در مورد عملکرد آن، با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
بررسی معمای هشت وزیر یا n وزیر و راهبرد عقبگرد برای حل مسأله
آشنایی با الگوریتم دایکسترا برای یافتن کوتاهترین مسیر تک‌مبدأ در گراف وزن‌دار بدون یال منفی با قطعه کد به زبان ++C
آشنایی با درخت جستجوی دودویی (Binary Search Tree) و عملیات جستجو و درج و حذف گره

  »  

ضرب استراسن


              چهارشنبه، 4 شهریور ماه 1388
www.aachp.ir
آنچه می‌خوانید ویراست جدید نوشته‌ای است که اولین بار با عنوان «ضرب استراسن» آبان ماه 1386 از طریق وب‌گاه برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و طرح پیشین وب‌گاه الگوریتمستان) منتشر شده بود.

همه‌ی ما با تعریف ضرب ماتریس‌های مربعی آشنایی داریم. حاصلضرب ماتریس‌های مربعی A و B به صورت زیر تعریف می‌شود:

      

\[ A=(a_{ij})_{n \times n} = \qquad , \qquad B=(b_{ij})_{n \times n} \] \[ C = A \times B = (c_{ij})_{n \times n} \qquad ; \qquad c_{ij}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \; b{kj} \]

      

    به عنوان مثال در حالت n = 2 داریم:

      

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \]

      

    همانگونه که از تعریف پیداست، برای محاسبه‌ی هر درایه نیاز به n عمل ضرب داریم. بنابراین برای محاسبه‌ی تمامی n2 درایه‌ی ماتریس C به n3 عمل ضرب نیاز خواهیم داشت. یعنی الگوریتم ضرب ماتریس‌ها با تعریف اصلی آن از مرتبه‌ی ( O( n3 است.

    قبل از ادامه‌ی بحث به مثال زیر توجه کنید:

      

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 9 \\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix} \; \leftrightarrow \; A^\prime \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 9 & 0 \\ -2 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 5 \\ 10 & 3 & 1 \end{pmatrix} \; \leftrightarrow \; B^\prime \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 5 & 0 \\ 10 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ C = A \times B = \begin{pmatrix} -1 & 14 & 13 \\ 85 & 43 & 29 \\ 42 & 20 & 8 \end{pmatrix} \; \leftrightarrow \; C^\prime = A^\prime \times B^\prime = \begin{pmatrix} -1 & 14 & 13 & 0 \\ 85 & 43 & 29 & 0 \\ 42 & 20 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

      

    این مثال نشان می‌دهد که اضافه کردن سطرها و ستون‌های صفر به ماتریس، تاثیری در جواب نهایی حاصلضرب ندارد. این مطلب را به صورت منطقی و عبارات ریاضی هم می‌توان ثابت کرد.

    حال فرض کنید n توانی از عدد دو باشد. اگر اینطور نبود با اضافه کردن تعداد مناسبی از سطرها و ستون‌های صفر مرتبه‌ی ماتریس‌ها را به توانی از عدد 2 می‌رسانیم. سپس هر کدام از ماتریس‌های A و B را به چهار زیر ماتریس به فرم زیر تقسیم می‌کنیم:

      

\[ \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \qquad , \qquad \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} \]

      

    به راحتی می‌توان ثابت کرد:

      

\[ C = A \times B = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{pmatrix} \]

      

    اما آیا این تقسیم‌بندی تاثیری در بهینه شدن تعداد محاسبات دارد؟

    فرض کنیم ( T( n تعداد ضربهای لازم برای محاسبه‌ی حاصلضرب این دو ماتریس - با استفاده از زیرماتریس‌ها - باشد. پس داریم:

      

\[ T(n) = 8 \; T \Big( \frac{n}{2} \Big) \qquad , \qquad T(1) = 1 \]

      

    با حل این رابطه‌ی بازگشتی به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم:

      

\[ T(n) =  8 \; T \Big( \frac{n}{2} \Big) =  8^2 \; T \Big( \frac{n}{2^2} \Big) = \cdots =  8^k \; T \Big( \frac{n}{2^k} \Big) \] \[ n = 2 ^ k \; \Rightarrow \; T(n) = 8 ^ k \; T( \frac{n}{n} ) = {(2^3)}^k \; T(1) = {(2^k)}^3 \times 1 = n ^ 3 \]

      

    که نشان می‌دهد همچنان n3 عمل ضرب برای محاسبه‌ی حاصلضرب نیاز است.

    ولکر استراسن با بررسی‌هایی که انجام داد، الگوریتم تقسیم و غلبه‌ای برای ضرب ماتریس‌ها با استفاده از تقسیم‌بندی ارائه داد که به جای هشت عمل ضرب در هر مرحله، هفت عمل نیاز دارد. به این ترتیب:

      

\[ T^\prime(n) =  7 \; T^\prime \Big( \frac{n}{2} \Big) =  7^2 \; T^\prime \Big( \frac{n}{2^2} \Big) = \cdots =  7^k \; T^\prime \Big( \frac{n}{2^k} \Big) \] \[ n = 2 ^ k \; \Rightarrow \; T^\prime(n) = 7 ^ k \; T^\prime( \frac{n}{n} ) = {(2^{log_27})}^k \; T^\prime(1) = {(2^k)}^{log_27} \times 1 = n ^ {log_27} \]

      

    در نتیجه مرتبه‌ی اجرای الگوریتم به ( O( n2.81 تبدیل می‌شود. به عنوان مثال اگر n برابر 1024 باشد:

      

\[ n = 1024 = 2^{10} \Rightarrow k = 10 \] \[ T(1024) = 8 ^{10} = 1073741824 \] \[ T^\prime(1024) = 7 ^{10} = 282475249 \] \[ \frac{T(1024)}{T^\prime(1024)} \simeq 3.8 \]

      

    یعنی در این حالت زمان محاسبه‌ی حاصلضرب به روش استراسن نسبت به حالت عادی نزدیک به چهار برابر کمتر می‌شود.

    در روش استراسن ماتریس‌های زیر که همه از مرتبه‌ی n / 2 هستند از روی زیرماتریس‌های ماتریس‌های A و B ساخته می‌شوند:

      

\[ P=(A_{11}+A_{22})(B_{11}+B_{22}) \] \[ Q=(A_{21}+A_{22})B_{11} \] \[ R=A_{11}(B_{12}-B_{22}) \] \[ S=A_{22}(B_{21}-B_{11}) \] \[ T=(A_{11}+A_{12})B_{22} \] \[ U=(A_{21}-A_{11})(B_{11}+B_{12}) \] \[ V=(A_{12}-A_{22})(B_{21}+B_{22}) \]

      

    که تنها هفت عمل ضرب برای محاسبه نیاز دارند. استراسن ثابت کرد زیرماتریس‌های متناظر ماتریس حاصلضرب از رابطه‌های زیر به دست می‌آید:

      

\[ C_{11}=P+S-T+V \] \[ C_{12}=R+T \] \[ C_{21}=Q+S \] \[ C_{22}=P-Q+R+U \]

      

    تقسیم کردن ماتریس‌ها به چهار بخش - برای محاسبه به روش استراسن - تا زمانی ادامه پیدا می‌کند که مرتبه‌ی ماتریس‌ها به 2 برسند. وقتی به این مرحله رسیدیم، با تعریف اصلی ضرب ماتریس‌ها حاصلضرب را محاسبه می‌کنیم.

    نکته: علت اینکه چرا تنها عمل ضرب را بررسی کردیم این بود که عمل ضرب هزینه‌ی زمانی بیشتری نسبت به عمل جمع و تفریق دارد. اگرچه می‌توان ثابت کرد که این روش به ازای مقادیر بزرگ n از نظر میزان عمل جمع و تفریق هم کاراتر است.


این نوشته آخرین بار در تاریخ شنبه، 9 اسفند ماه 1393 مورد بازبینی علمی قرار گرفته است.
‌چاپ نوشته
نسخه‌ی قابل چاپ مشاهده‌ی نسخه‌ی قابل چاپ و ارسال به چاپگر
به اشتراک‌گذاری نوشته
FriendFeed       Twitter       Facebook       Google Plus       LinkedIn       Cloob
دسته‌بندی
محاسبات ریاضی
‌برچسب‌ها

ماتریس

،

طراحی الگوریتم‌ها

،

روش تقسیم و غلبه

،

محاسبات ریاضی

امتیاز نوشته
1 2 3 4 5
ارسال پیام
» acm

پنجشنبه، 19 شهریور ماه 1388، ساعت 10:55
سلام رفیق برا چی وقتی باهنر قبول شدی نرفتی


شنبه، 21 شهریور ماه 1388، ساعت 18:26
مسعود اقدسی‌فام:
سلام رفيق
خدمت سربازي اجازه ادامه تحصيل بهم نداد. تا تموم شدن اين دوره حق ادامه تحصيل ندارم.
ممنون كه به يادم بودي.

» پرستو

سه‌شنبه، 21 مهر ماه 1388، ساعت 13:50
به که با این کارت لطفی بزرگ به من و بشریت می کنی . خیلی بخشنده ای که علمتو در اختیار دیگران بدون هیچ چشم داشتی میگذاری واقعا خسته نباشید . یه روز جواب این همه مهربونی هاتو از خدا می گیری. چون مشکل منو حل کردی .

» راضیه

سه‌شنبه، 5 آبان ماه 1388، ساعت 19:18
سلام ببخشید من برنامه ضرب اعداد بزرگ را به روش تقسیم وحل میخوام اگه دارین ممنون میشیم تا 5 شنبه برام بزارین


دوشنبه، 11 آبان ماه 1388، ساعت 19:12
مسعود اقدسی‌فام:
سلام
اگر قوانین ارسال پیام رو مطالعه کرده بودید متوجه می شدید که به درخواست برنامه آماده پاسخی داده نمی شه.
ممنون از حضورتون.

» zebel

جمعه، 16 بهمن ماه 1388، ساعت 21:47
سلام
میشه الگوریتم ضرب دو ماتریس به روش استراسن رو پیاده سازی کنید؟
یا الگوریتم ضرب اعداد صحیح بسیار بزرگ را (به روش تقسیم و غلبه) پیاده سازی کنید.
اینا پروژه دانشگاهمه
متشکرم

» goli

دوشنبه، 17 اسفند ماه 1388، ساعت 11:00
خیلی چرت بود

» همتا

سه‌شنبه، 17 فروردین ماه 1389، ساعت 15:16
سلام دوست عزیز
راه حلی به نظرتون میرسه که طول آرایه رو بشه تو پشته نگهداری کرد؟

» رضا

سه‌شنبه، 6 مهر ماه 1389، ساعت 13:25
احسن   جالب بود

» سحر

دوشنبه، 8 اسفند ماه 1390، ساعت 01:03
salam, merc az matalebe por mohtavatoon, mikhastam khahesh konam algoritme zarbe matris ro ham be zabane ++c benevisin, man kheyli gashtam vali peyda nakardam , mamnoon

» lili

یکشنبه، 14 آبان ماه 1391، ساعت 10:54
سلام.
ممنون میشم اگه سوالما تا 3شنبه جواب بدین اخرین وقتشه.
ضرب دو ماتریس 3*3 به روش استراسنوساده وتعداد جمع ها وضربهادر هر یک کدام روش بهتر است؟؟؟؟

» 1

شنبه، 18 آبان ماه 1392، ساعت 17:42



دوست عزیزم، لطفا قبل از ارسال پیام به موارد زیر توجه داشته باشید:

1- تا حد ممکن از حروف فارسی برای نگارش پیام خود استفاده کنید. امکان ارسال پیام لاتین و کدهای برنامه‌نویسی با چیدمان چپ به راست نیز وجود دارد.
2- به درخواست پروژه‌های آماده و موارد مشابه پاسخ داده نخواهد شد.
3- از قرار دادن هرگونه نشانی یا شماره تماس در متن پیام خودداری کنید.
4- از ارسال پیام‌های تبلیغاتی خودداری کنید.
5- از ارسال سوال و پیام غیرمرتبط با این نوشته خودداری کنید.
6- لطفا نظر خود را در مورد این نوشته با ثبت امتیاز مشخص نمایید.

پیشاپیش از همکاری شما سپاسگذارم.


نام:  
پست الکترونیک
وب‌گاه:
متن پیام: