صفحه اصلی

صفحه شخصی مسعود اقدسی‌فام
الگوریتمستان - برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم
● وب‌سایت آرشیو سوالات منطقه‌ای و جهانی مسابقات برنامه‌نویسی ACM-ICPC، با امکان ارسال پاسخ و بررسی جواب.
● علاقمندان به شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی و حل سوالات الگوریتمی می‌توانند از این وب‌سایت معتبر به همراه کتاب معرفی شده جهت تمرین و آمادگی بیشتر استفاده کنند.
امروز: جمعه، 7 آذر ماه 1393 ، تعداد افراد آنلاین: 2 نفر
جستجو در مطالب وب‌سایت:   

آشنایی با روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا - Dynamic Programming) به عنوان یکی از روش‌های پر کاربرد طراحی الگوریتم و یافتن راه حل بهینه مسائل، و روش محاسبه دنباله فیبوناچی
بررسی مساله مربی ناامید، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی ACM
بررسی مفهوم و روش پیاده‌سازی لیست پیوندی و توابع مرتبط آن به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه حاصلضرب ماتریس‌ها
بررسی سوال مسابقات برنامه‌نویسی Turn for MEGA، و راه حل آن
آشنایی با روش مرتب‌سازی انتخابی،همراه با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
بررسی مساله Simple Addition، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
آشنایی با روش مرتب‌سازی سریع، همراه با قطعه‌کدهای نمونه به زبان برنامه‌نویسی ++C
بررسی روش‌های مختلف محاسبه ضرایب دوجمله‌ای نیوتن یا ترکیب دو عدد با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
پنج نکته آموزنده در مورد برنامه‌نویسی به زبان برنامه‌نویسی ++C
بررسی معمای هشت وزیر یا n وزیر و راهبرد عقبگرد برای حل مساله
آشنایی با حلقه‌های تکرار در زبان برنامه‌نویسی ++C و دستورات کنترلی مورد استفاده در آن
آشنایی با روش مرتب‌سازی هرمی (Heap Sort)
آشنایی با روش مرتب‌سازی حبابی و بحث در مورد عملکرد آن، با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C

  »   ضرب استراسن
              چهارشنبه، 4 شهریور ماه 1388
www.aachp.ir
آنچه می‌خوانید ویراست جدید مطلبی است که با عنوان "ضرب استراسن" از طریق وب‌سایت برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و طرح پیشین وب‌سایت الگوریتمستان) منتشر شده بود.

همه ما با تعریف ضرب ماتریس‌های مربعی آشنایی داریم. حاصلضرب ماتریس‌های مربعی A و B به صورت زیر تعریف می‌شود:

     

ضرب استراسن

     

    

    به عنوان مثال، در حالت n = 2 داریم:

     

ضرب استراسن

     

    همانگونه که از تعریف پیداست، برای محاسبه هر درایه نیاز به n عمل ضرب داریم. بنابراین برای محاسبه تمامی n2 درایه ماتریس C به n3 عمل ضرب نیاز خواهیم داشت. یعنی الگوریتم ضرب ماتریس‌ها با تعریف اصلی آن از مرتبه ( O( n3 است.

    قبل از ادامه بحث، به مثال زیر توجه کنید:

     

ضرب استراسن

     

    

    این مثال نشان می‌دهد که اضافه کردن سطرها و ستون‌های صفر به ماتریس، تاثیری در جواب نهایی حاصلضرب ندارد. این مطلب را به صورت منطقی و عبارات ریاضی هم می‌توان ثابت کرد.

    حال فرض کنید n توانی از عدد دو باشد. اگر اینطور نبود با اضافه کردن تعداد مناسبی از سطرها و ستون‌های صفر مرتبه ماتریس‌ها را به توانی از عدد 2 می‌رسانیم. سپس هر کدام از ماتریس‌های A و B را به چهار زیر ماتریس به فرم زیر تقسیم می‌کنیم:

     

ضرب استراسن

     

    به راحتی می‌توان ثابت کرد:

     

ضرب استراسن

     

    اما آیا این تقسیم‌بندی تاثیری در بهینه شدن تعداد محاسبات دارد؟

    فرض کنیم ( T( n تعداد ضربهای لازم برای محاسبه حاصلضرب این دو ماتریس - با استفاده از زیرماتریس‌ها - باشد. پس داریم:

     

ضرب استراسن

     

    با حل این رابطه بازگشتی به نتیجه زیر می‌رسیم:

     

ضرب استراسن

     

    که نشان می‌دهد همچنان n3 عمل ضرب برای محاسبه حاصلضرب نیاز است.

    ولکر استراسن با بررسی‌هایی که انجام داد، الگوریتم تقسیم و غلبه‌ای برای ضرب ماتریس‌ها با استفاده از تقسیم‌بندی ارائه داد که به جای هشت عمل ضرب در هر مرحله، هفت عمل نیاز دارد. به این ترتیب:

     

ضرب استراسن

     

    در نتیجه مرتبه اجرای الگوریتم به ( O( n2.81 تبدیل می‌شود (چرا؟). به عنوان مثال، اگر n برابر 1024 باشد:

     

ضرب استراسن

     

    یعنی در این حالت زمان محاسبه حاصلضرب به روش استراسن نسبت به حالت عادی نزدیک به چهار برابر کمتر می‌شود.

    در روش استراسن ماتریس‌های زیر که همه از مرتبه n / 2 هستند از روی زیرماتریس‌های ماتریس‌های A و B ساخته می‌شوند:

     

ضرب استراسن

     

    که تنها هفت عمل ضرب برای محاسبه نیاز دارند. استراسن ثابت کرد زیرماتریس‌های متناظر ماتریس حاصلضرب از رابطه‌های زیر به دست می‌آید:

     

ضرب استراسن

     

    تقسیم کردن ماتریس‌ها به چهار بخش - برای محاسبه به روش استراسن - تا زمانی ادامه پیدا می‌کند که مرتبه ماتریس‌ها به 2 برسند. وقتی به این مرحله رسیدیم، با تعریف اصلی ضرب ماتریس‌ها حاصلضرب را محاسبه می‌کنیم.

    نکته: علت اینکه چرا تنها عمل ضرب را بررسی کردیم این بود که عمل ضرب هزینه زمانی بیشتری نسبت به عمل جمع و تفریق دارد. اگرچه می‌توان ثابت کرد که این روش به ازای مقادیر بزرگ n از نظر میزان عمل جمع و تفریق هم کاراتر است.

‌چاپ مطلب
نسخه قابل چاپ مشاهده نسخه قابل چاپ و ارسال به چاپگر
‌برچسب‌ها
طراحی الگوریتم‌ها ، روش تقسیم و غلبه
امتیاز مطلب
1 2 3 4 5
ارسال پیام
» acm

پنجشنبه، 19 شهریور ماه 1388، ساعت 10:55
سلام رفیق برا چی وقتی باهنر قبول شدی نرفتی

» مسعود اقدسی‌فام

شنبه، 21 شهریور ماه 1388، ساعت 18:26
سلام رفيق
خدمت سربازي اجازه ادامه تحصيل بهم نداد. تا تموم شدن اين دوره حق ادامه تحصيل ندارم.
ممنون كه به يادم بودي.

» پرستو

سه‌شنبه، 21 مهر ماه 1388، ساعت 13:50
به که با این کارت لطفی بزرگ به من و بشریت می کنی . خیلی بخشنده ای که علمتو در اختیار دیگران بدون هیچ چشم داشتی میگذاری واقعا خسته نباشید . یه روز جواب این همه مهربونی هاتو از خدا می گیری. چون مشکل منو حل کردی .

» راضیه

سه‌شنبه، 5 آبان ماه 1388، ساعت 19:18
سلام ببخشید من برنامه ضرب اعداد بزرگ را به روش تقسیم وحل میخوام اگه دارین ممنون میشیم تا 5 شنبه برام بزارین

» zebel

جمعه، 16 بهمن ماه 1388، ساعت 21:47
سلام
میشه الگوریتم ضرب دو ماتریس به روش استراسن رو پیاده سازی کنید؟
یا الگوریتم ضرب اعداد صحیح بسیار بزرگ را (به روش تقسیم و غلبه) پیاده سازی کنید.
اینا پروژه دانشگاهمه
متشکرم

» goli

دوشنبه، 17 اسفند ماه 1388، ساعت 11:00
خیلی چرت بود

» همتا

سه‌شنبه، 17 فروردین ماه 1389، ساعت 15:16
سلام دوست عزیز
راه حلی به نظرتون میرسه که طول آرایه رو بشه تو پشته نگهداری کرد؟

» رضا

سه‌شنبه، 6 مهر ماه 1389، ساعت 13:25
احسن   جالب بود

» سحر

دوشنبه، 8 اسفند ماه 1390، ساعت 01:03
salam, merc az matalebe por mohtavatoon, mikhastam khahesh konam algoritme zarbe matris ro ham be zabane ++c benevisin, man kheyli gashtam vali peyda nakardam , mamnoon

» lili

یکشنبه، 14 آبان ماه 1391، ساعت 10:54
سلام.
ممنون میشم اگه سوالما تا 3شنبه جواب بدین اخرین وقتشه.
ضرب دو ماتریس 3*3 به روش استراسنوساده وتعداد جمع ها وضربهادر هر یک کدام روش بهتر است؟؟؟؟

» 1

شنبه، 18 آبان ماه 1392، ساعت 17:42



دوست عزیزم، لطفا قبل از ارسال پیام به موارد زیر توجه داشته باشید:

1- تا حد ممکن از حروف فارسی برای نگارش پیام خود استفاده کنید. امکان ارسال پیام لاتین و کدهای برنامه‌نویسی با چیدمان چپ به راست نیز وجود دارد.
2- به درخواست پروژه‌های آماده و موارد مشابه پاسخ داده نخواهد شد.
3- از قرار دادن هرگونه نشانی یا شماره تماس در متن پیام خودداری کنید.
4- از ارسال پیام‌های تبلیغاتی خودداری کنید.
5- از ارسال سوال و پیام غیرمرتبط با مطلب ارائه شده خودداری کنید.
6- لطفا نظر خود را در مورد مطلب ارائه شده، با ثبت امتیاز مشخص نمایید.

پیشاپیش از همکاری شما سپاسگذارم.


نام:  
پست الکترونیک
وب‌سایت:
متن پیام: