الگوریتمستان - برنامه‌نویسی، طراحی الگوریتم و آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
QR-Code
کاربران حاضر در وب‌گاه: ۱ کاربر. عنوان‌ و توضیح تمامی نوشته‌های وب‌گاه را در نقشه‌ی وب‌گاه ببینید.
جستجو در نوشته‌های وب‌گاه:   
تعداد:  ۶۷

میانگین:  ۴.۲۴  از   ۵.۰۰
امروز:  ۴۹۳ بازدید

۲۴ ساعت گذشته:  ۵۷۰  بازدید

۷ روز گذشته:  ۴۸۹۳  بازدید

۳۰ روز گذشته:  ۳۶۸۶۲  بازدید
امروز:  ۱۵ بازدید

۲۴ ساعت گذشته:  ۱۵ بازدید

۷ روز گذشته:  ۷۹ بازدید

۳۰ روز گذشته:  ۱۸۷۵ بازدید
عناوین بخشی از مباحث پرکاربرد در سوالات مسابقات برنامه‌نویسی
بحث در مورد ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و روش پیاده‌سازی الگوریتم پرانتزبندی بهینه‌ی آن با روش تقسیم و حل و روش برنامه‌نویسی پویا
آشنایی با الگوریتم دایکسترا برای یافتن کوتاهترین مسیر تک‌مبدأ در گراف وزن‌دار بدون یال منفی با قطعه کد به زبان ++C
آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه‌‌ی حاصلضرب ماتریس‌ها
آشنایی با کلاس‌های حافظه و کاربرد آنها در زبان ++C
معرفی کتاب Art of Programming Contest برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی با قابلیت دانلود نسخه‌ی الکترونیکی
بررسی روش‌های بسط لاپلاس، گاوس، فرمول تحویل و ساروس، برای محاسبه‌ی دترمینان ماتریس مربعی و پیچیده‌گی زمانی آنها
نوشته‌های محبوب بازدیدکنندگان
بررسی مسأله‌ی Simple Addition از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
معرفی متغیرهای مرجع در زبان برنامه‌نویسی ++C و آشنایی با مهمترین کاربردهای آنها
آشنایی با روش حریصانه و کاربردهای آن مانند مسأله‌ی خرد کردن پول
بحث در مورد مسأله‌ی کاشیکاری یا فرش کردن زمین با موزاییک به روش تقسیم و حل
بررسی روش‌های مختلف محاسبه‌ی ضرایب دوجمله‌ای نیوتن یا ترکیب دو عدد با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با درخت جستجوی دودویی (Binary Search Tree) و عملیات جستجو و درج و حذف گره
معرفی کتاب Art of Programming Contest برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی با قابلیت دانلود نسخه‌ی الکترونیکی
نوشته‌ها از این دسته
بررسی سوال مسابقات برنامه‌نویسی Turn for MEGA و راه حل آن
معرفی الگوریتم جستجوی اول سطح (BFS) برای پیمایش گراف و کاربردهای آن به همراه قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
بررسی مسأله‌ی مربی ناامید، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی ACM
معرفی الگوریتم جستجوی اول عمق (DFS) برای پیمایش گراف و کاربردهای آن به همراه قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه‌‌ی حاصلضرب ماتریس‌ها
بررسی مسأله‌ی آسانسورها (Elevators)، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی ACM
آشنایی با روش مرتب‌سازی درجی، همراه با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C

روش برنامه‌نویسی پویا - الگوریتمستان
6714.245.00
  »  


       

آشنایی با روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا - Dynamic Programming) به عنوان یکی از روش‌های پر کاربرد طراحی الگوریتم برای حل بهینه‌ی مسائل با مثالی از محاسبه‌ی دنباله‌ی فیبوناچی

www.aachp.ir
آنچه می‌خوانید ویراست جدید نوشته‌ای است که اولین بار با عنوان «روش برنامه نویسی پویا» تیر ماه 1387 از طریق وب‌گاه برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و طرح پیشین وب‌گاه الگوریتمستان) منتشر شده بود.

یکی از روش‌های پرکاربرد و مشهور طراحی الگوریتم روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا - Dynamic Programming) است. این روش همچون روش تقسیم و حل (Divide and Conquer) بر پایه‌ی تقسیم مسأله بر زیرمسأله‌ها کار می‌کند. اما تفاوت‌های چشم‌گیری با آن دارد.

    زمانی که یک مسأله به دو یا چند زیرمسأله تقسیم می‌شود، دو حالت ممکن است پیش بیاید:

    1- داده‌های زیرمسأله‌ها هیچ اشتراکی با هم نداشته و کاملا مستقل از هم هستند. نمونه‌ی چنین مواردی مرتب‌سازی آرایه‌ها با روش ادغام یا روش سریع  است که داده‌ها به دو قسمت تقسیم شده و به صورت مجزا مرتب می‌شوند. در این حالت داده‌های یکی از بخش‌ها هیچ ارتباطی با داده‌های بخش دیگر نداشته و در نتیجه حاصل از آن بخش اثری ندارند. معمولا روش تقسیم و حل برای چنین مسائلی کارآیی خوبی دارد.

    2- داده‌های زیرمسأله وابسته به هم بوده و یا با هم اشتراک دارند. در این حالت به اصطلاح زیرمسأله‌ها هم‌پوشانی دارند. نمونه‌ی بارز چنین مسائلی محاسبه‌ی جمله‌ی nام دنباله‌ی اعداد فیبوناچی است.

      

دنباله‌ی اعداد فیبوناچی (فیبوناتچی)

دنباله‌ی اعداد فیبوناچی (Fibonacci) یکی از دنباله‌های عددی مشهور ریاضیات با تعریف بازگشتی زیر است:

      

\[ F( n ) = F( n - 1 ) + F( n - 2 ) \qquad n > 2 \qquad, \qquad F( 1 ) = F( 2 ) = 1 \]

      

    محاسبه‌ی جمله‌ی nام دنباله به محاسبه‌ی دو جمله‌ی قبلی آن نیاز دارد. پس می‌توان گفت محاسبه‌ی $ F( n - 1 ) $ و $ F( n - 2 ) $ دو زیرمسأله برای مسأله‌ی اصلی هستند. اما در عین حال این دو زیرمسأله از هم مستقل نیستند. برای محاسبه‌ی $ F( n - 1 ) $ بر اساس رابطه‌ی بالا باید داشته باشیم:

      

\[ F( n - 1 ) = F( n - 2 ) + F( n - 3 ) \]

      

    که نشان می‌دهد خود $ F( n - 1 ) $ وابسته به $ F( n - 2 ) $ است.

    اگر این مسأله را به روش تقسیم و حل - که ساده‌ترین روش است - حل کنیم:

int fibo( int n )

{

  if( n > 2 )

  {

    return ( fibo( n - 1) + fibo( n - 2 ) );

  }

  return 1;

}

      

    تابع fibo مقدار n را دریافت کرده و به صورت بازگشتی و بر اساس رابطه‌ی ذکر شده، جمله‌ی nام دنباله‌ی فیبوناچی را محاسبه می‌کند. حال درخت فراخوانی‌های بازگشتی تابع را به ازای n = 7 رسم می‌کنیم:

      

      

درخت فراخوانی بازگشتی تابع فیبوناچی

      

    هر گره درخت، فراخوانی تابع را با مقدار داخل آن نشان می‌دهد. برای محاسبه‌ی جمله‌ی هفتم دنباله‌ی فیبوناچی تابع fibo به صورت ( fibo( 7 فراخوانی می‌شود که آن هم ( fibo( 6 و ( fibo( 5 را فراخوانی می‌کند و الی آخر. همانطور که مشاهده می‌کنید، برای محاسبه‌ی این جمله، ( fibo( 7 یک بار، ( fibo( 6 یک بار، ( fibo( 5 دو بار، ( fibo( 4 سه بار، ( fibo( 3 پنج بار، ( fibo( 2 هشت بار، ( fibo( 1 پنج بار و روی هم رفته تابع fibo بیست و پنج بار فراخوانی می‌شود.

    ما خود چگونه جملات دنباله‌ی فیبوناچی را محاسبه می‌کنیم؟ ابتدا جمله‌ی اول و دوم را جمع زده و جمله‌ی سوم را محاسبه می‌کنیم. سپس با استفاده از جمله‌ی به دست آمده و جمله‌ی دوم، جمله‌ی چهارم را محاسبه می‌کنیم و همینطور ادامه می‌دهیم:

1  1  2( = 1 + 1 )

1  1  2  3( = 2 + 1 )

1  1  2  3  5( = 3 + 2 )

1  1  2  3  5  8( = 5 + 3 )

1  1  2  3  5  8  13( = 8 + 5 )

  

    و به این ترتیب جمله‌ی هفتم دنباله تنها با پنج محاسبه‌ی ساده به دست می‌آید. در حالت کلی با استفاده از این روش تنها به n - 2 عمل جمع نیاز است که نشان از الگوریتمی با مرتبه‌ی خطی دارد. در حالی که می‌توان ثابت کرد در حالت اول تعداد کل فراخوانی‌های بازگشتی تابع از مرتبه‌ی نمایی است. دلیل اختلاف این دو عدد در این است که در حالت دوم، هر جمله‌ی دنباله فقط و فقط یک بار محاسبه می‌شود. این همان روش برنامه‌نویسی پویا است.

    در برنامه‌نویسی پویا مسأله به صورت جزء به کل حل می‌شود. یعنی ابتدا زیرمسائل خرد حل شده و نتیجه‌ی آنها در مکانی دخیره می‌شود. سپس به سمت زیرمسائل کلی‌تر رفته و با استفاده از داده‌های از پیش محاسبه شده، آنها نیز حل می‌شوند. در مورد دنباله‌ی فیبوناچی می‌توان نوشت:

      

int fibo( int n )

{

  int f[ MAX ], i;

  f[ 1 ] = f[ 2 ] = 1;

  for( i = 3 ; i <= n ; i++ )

  {

    f[ i ] = f[ i - 1 ] + f[ i - 2 ];

  }

  return f[ n ];

}

  

    در این روش ما جملات دنباله‌ها را پس از محاسبه در یک آرایه ذخیره می‌کنیم. برای این کار به جای حرکت از کل به جزء (یعنی از n به 1 که در روش تقسیم و حل استفاده می‌شود)، از جزء به سمت کل حرکت می‌کنیم. هر جمله‌ی دنباله تنها به دو جمله‌ی قبل خود نیاز دارد که با حرکت جزء به کل قبلا محاسبه شده‌اند و نیاز به محاسبه‌ی مجدد آنها نیست. البته این کد را می‌توان ساده‌تر کرد:

      

int fibo( int n )

{

  int i, f1, f2, f3;

  f1 = f2 = 1;

  for( i = 3 ; i <= n ; i++ )

  {

    f3 = f1 + f2;

    f1 = f2;

    f2 = f3;

  }

  return f3;

}

  

    تحلیل این تابع ساده را به خود شما وا می‌گذارم.

    نکته‌ی مهم این است که اگر زیرمسأله‌ها هم‌پوشانی نداشته باشند روش برنامه‌نویسی پویا هیچ کمکی به ما نخواهد کرد. چرا که خاصیت اصلی این روش ذخیره داده‌هایی است که ممکن است به کرات به آنها مراجعه شود. حال اگر هیچ اشتراکی در کار نباشد، طبیعتا از هر داده تنها یک بار استفاده خواهد شد.

    برنامه‌نویسی پویا برای طراحی الگوریتم‌های محاسبه‌ی حالت‌های بهینه‌ی مسائل نیز کاربرد زیادی دارد. به عنوان مثال در یافتن کوتاهترین مسیر بین دو نقطه، محاسبه‌ی بهینه‌ترین حالت ضرب زنجیری ماتریس‌ها، درخت جستجوی بهینه، مسأله‌ی فروشنده‌ی دوره‌گرد، محاسبه‌ی ضرب چندجمله‌ای‌ها، مسأله‌ی کوله‌پشتی صفر و یک و چندین مسأله‌ی دیگر، از برنامه‌نویسی پویا استفاده می‌شود. شرط اساسی امکان استفاده از این روش برای محاسبه‌ی حالت بهینه به اصل بهینگی مشهور است.

    اصل بهینگی: اصل بهینگی یعنی حل مسأله به صورت بهینه، حاوی حل بهینه‌ی تمامی زیرمسائل آن نیز باشد.

    به عبارت دیگر، مسأله باید به گونه‌ای باشد که با یافتن حل بهینه‌ی آن، حل بهینه‌ی همه زیرمسأله‌ها نیز به دست آمده باشد. به عنوان مثال، در یافتن کوتاهترین مسیر بین دو شهر، مسیر بین مبدأ و هر گرهی که در مسیر بهینه وجود دارد، بهینه‌ترین مسیر بین آن دو نیز هست.


نوشته‌های مرتبط
معرفی کتاب Introduction to Algorithms (ویراست سوم) به عنوان مرجع مباحث طراحی الگوریتم‌ها و ساختمان داده‌ها با قابلیت دانلود نسخه‌ی الکترونیکی
آشنایی با الگوریتم فلوید-وارشال برای یافتن کوتاهترین مسیرهای گراف با قطعه کد نمونه به زبان برنامه‌نویسی ++C
بحث در مورد ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و روش پیاده‌سازی الگوریتم پرانتزبندی بهینه‌ی آن با روش تقسیم و حل و روش برنامه‌نویسی پویا
معرفی کتاب Programming Challenges برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی با قابلیت دانلود نسخه‌ی الکترونیکی
معرفی کتاب Art of Programming Contest برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی با قابلیت دانلود نسخه‌ی الکترونیکی
آشنایی با روش حریصانه و کاربردهای آن مانند مسأله‌ی خرد کردن پول
آشنایی با دنباله‌ی عددی کاتالان، کاربردها و روش پیاده‌سازی آن به زبان برنامه‌نویسی ++C
بررسی روش‌های مختلف محاسبه‌ی ضرایب دوجمله‌ای نیوتن یا ترکیب دو عدد با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
آشنایی با روش Divide and Conquer (تقسیم و حل / تقسیم و غلبه) و کاربردهای آن در مرتب‌سازی، جستجو و حل مسائل الگوریتمی دیگر
پیشنهاد صفحه
به اشتراک‌گذاری نوشته
اشتراک‌گذاری در LinkedIn         Cloob         اشتراک‌گذاری در Twitter         اشتراک‌گذاری در Facebook         اشتراک‌گذاری در فیس‌نما         Google Plus         ارسال با پست الکترونیک         اشتراک‌گذاری در Digg         ارسال با Yahoo Messenger         اشتراک‌گذاری در StumbleUpon
دسته‌بندی چاپ نوشته
‌برچسب‌ها
امتیاز نوشته
1 2 3 4 5
ارسال پیام
» سروش

سه‌شنبه، ۲۸ اردیبهشت ماه ۱۳۸۹، ساعت ۱۹:۵۸
خيلي عالي بود

» حامد

شنبه، ۲۰ فروردین ماه ۱۳۹۰، ساعت ۲۰:۴۸
لطفا اطلاعاتی هم در مورد سری لوکا
در سایت اضافه کنید و مطالب جدید در مورد
سری فیبوناچی اضافه کنید

» هژیر

دوشنبه، ۲۸ آذر ماه ۱۳۹۰، ساعت ۱۰:۵۶
دوست عزیز مطالبی که بر روی سایت قرار می دهید هیچ سندست علمی ندارد . خواهشا از قرار دادن این مطالب بر روی وی سایت خودداری کنید . چون چند تا از آنها را که خواندم کاملا اشتباه بودند


دوشنبه، ۲۸ آذر ماه ۱۳۹۰، ساعت ۱۱:۳۷
مسعود اقدسی‌فام:
هژیر عزیز
خوشحال می‌شم مطالبی رو که کاملا اشتباه هستن معرفی کنید. همینطور سندهایی که بر اساس اونها این مطالب اشتباه هستن. اگه واقعا اونطور باشه حتما نسبت به اصلاحشون اقدام می‌کنم. شما اولین نفری هستید که اینطور نظری رو مطرح می‌کنید.

» مونا

چهارشنبه، ۲۴ اسفند ماه ۱۳۹۰، ساعت ۱۲:۵۸
سلام. مطالب خوب و مفیدی رو راجع به مرتب سازی ها ارائه داده بودین. ضمن تشکر می خواستم اگه مقدوره اطلاعاتی را جع به کاربرد الگوریتم هایی مثل کوله پشتی، پویا و فروشنده دوره گرد ارائه بدین. اینکه کجاها این الگوریتم ها به کار می یان. من یه مطلبی خوندم که مثلا کوله پشتی توی سیستم عامل کاربرد داره. یا مثلا توی برش کالا. اما دقیقاً کارایی شون رو متوجه نشدم.
ممنون می شم اگه راجع به این مطالب هم اطلاعاتی درج کنید.

» سمانه

پنجشنبه، ۹ آذر ماه ۱۳۹۱، ساعت ۲۰:۴۲
سلام واقعا عالی بود میشه لطف کنیدکدبرنامه ای که فاکتوریل یک عددصحیح رابوسیله حلقهforمحاسبه کند ،رابنویسید

» سید جلال

شنبه، ۹ دی ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۸:۲۳
سلام لطفا سوالی قرار بدین که با سه روش تقسیم وغلبه و پویا و حریصانه حل بشه

» مجید

یکشنبه، ۸ اردیبهشت ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۰:۵۱
خیلی کاربردی و عمیق بود
با تشکر

» حسن

سه‌شنبه، ۱۴ خرداد ماه ۱۳۹۲، ساعت ۲۳:۰۲
خیلی عالی بود واقعا بدردم خورد

» صالح

جمعه، ۱۰ مرداد ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۷:۱۲
سلام به دوستان برنامه نویس.
درست میگن ی دست صدانداره،من به کمک دوستام تو آلگوریتمستان کلی موفقیت کسب کردم"خدا قوت الگوریتمستانیا"

» مریم

سه‌شنبه، ۲۷ آبان ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۰:۴۷
سلام . مطلب کوتاه ولی مفید بود .ممنون

» pmp

دوشنبه، ۶ بهمن ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۱:۵۵
سلام . مطلب کوتاه ولی مفید بود .ممنون



دوست عزیزم، لطفا پیش از ارسال پیام به موارد زیر توجه داشته باشید:

۱- تا حد ممکن از حروف فارسی برای نگارش پیام فارسی استفاده کنید. امکان ارسال پیام لاتین و کدهای برنامه‌نویسی با چیدمان چپ به راست نیز وجود دارد.
۲- به درخواست پروژه‌های آماده و موارد مشابه پاسخ داده نخواهد شد.
۳- از قرار دادن هرگونه نشانی یا شماره تماس در متن پیام خودداری کنید.
۴- از ارسال پیام‌های تبلیغاتی خودداری کنید.
۵- از ارسال سوال و پیام غیرمرتبط با این نوشته خودداری کنید.
۶- لطفا نظر خود را در مورد این نوشته با ثبت امتیاز مشخص نمایید.

پیشاپیش از همکاری شما سپاسگزارم.


نام:  
پست الکترونیک
وب‌گاه:
متن پیام: right 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 left  
پیوندهای مرتبط با مسابقات برنامه‌نویسی
تمامی نوشته‌های وب‌گاه الگوریتمستان تحت قرارداد باز Creative Commons Attribution-ShareAlike v4.0 می‌باشند.