بستن پنجره
فرادرس - مجموعه آموزش‌های ویدئویی  مهندسی کامپیوتر - طراحی الگوریتم - ساختمان داده
بستن پنجره     از آخرین نوشته‌ها

»    مسابقه‌ی برنامه‌نویسی آنلاین 20 Quera

»    دوره‌ی طراحی و تحلیل الگوریتم دانشگاه استنفورد

»    مسأله‌ی انتخابات

بستن پنجره
وبگاه
این صفحه
اشتراک‌گذاری در LinkedIn     Cloob     اشتراک‌گذاری در Twitter
اشتراک‌گذاری در Facebook     ارسال با Telegram     Google Plus
بستن پنجره
وبگاه     این صفحه
اشتراک‌گذاری در LinkedIn     Cloob     اشتراک‌گذاری در Twitter     اشتراک‌گذاری در Facebook     ارسال با Telegram     Google Plus
معمای هشت وزیر - الگوریتمستان
الگوریتمستان
10214.325.00
  »  

       

بررسی معمای هشت وزیر یا n وزیر و راهبرد عقبگرد برای حل مسأله

http://www.aachp.ir آنچه می‌خوانید ویراست جدید نوشته‌ای است که اولین بار با عنوان «مساله هشت وزیر» آذر ماه 1386 از طریق وبگاه برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و طرح پیشین وبگاه الگوریتمستان) منتشر شده بود.


آنچه در این نوشته می‌خوانید:

معمای هشت وزیر از جمله مسائل کلاسیک مباحث طراحی الگوریتم است که در حالت کلی‌تر با عنوان معمای n وزیر یا معمای چند وزیر مطرح می‌شود.

      

برای افرادی که با بازی شطرنج آشنایی ندارند

  [بازگشت به فهرست]

وزیر مهره‌ای از مهره‌های بازی شطرنج است که می‌تواند در تمامی هشت جهت به هر تعداد خانه - تا زمانی که مهره‌ای مانع نباشد - حرکت کند. اگر در این مسیرها مهره‌ای از حریف قرار گرفته باشد، آن مهره در معرض خطر حمله توسط وزیر قرار دارد؛ یا به اصطلاح وزیر آن مهره را تهدید می‌کند.

      

معمای هشت وزیر

      

معمای n وزیر

  [بازگشت به فهرست]

هدف از مسأله‌ی هشت وزیر، چیدن 8 مهره‌ی وزیر روی یک صفحه‌ی شطرنج خالی است، به قسمی که هیچ مهره‌ای مهره‌های دیگر را تهدید نکند. به عبارت دیگر، 8 وزیر باید به نحوی چیده شوند که هیچ‌کدام در بک سطر، بک ستون یا بک قطر قرار نداشته باشند. یک جواب مسأله می‌تواند به صورت زیر باشد:

      

مسأله‌ی هشت وزیر

      

    در حالت کلی به جای عدد 8 از عدد طبیعی $n$ استفاده شده و مسأله به ازای هر $n$ بزرگتر یا مساوی 4 مورد بررسی قرار می‌گیرد. به این ترتیب، هدف مسأله چیدن $n$ مهره وزیر در یک صفحه شطرنج با ابعاد $n \times n $است.

    در یک صفحه‌ی $n$ در $n$ تعداد $n^2$ خانه وجود دارد که از بین آنها $n$ خانه برای قرار گرفتن $n$ وزیر انتخاب می‌شود. در این انتخاب‌ها ترتیب اهمیتی ندارد. پس تعداد حالت‌های انتخاب $n$ خانه برای چیدن $n$ وزیر ترکیب $n$ از $n^2$ یا $ C(n^2, n) $ است که حتی برای $n‌$ های نه چندان بزرگ (نظیر 8) عدد بزرگی به دست می‌آید. در نتیجه بررسی تمامی حالات ممکن چینش مهره‌ها برای رسیدن به چیدمان صحیح به هیچ عنوان مقرون به صرفه نیست. از سوی دیگر به ازای هر $n$، تنها یک جواب منحصربفرد وجود ندارد. بنابراین اگر هدف مسأله یافتن تمامی جواب‌های ممکن باشد، استفاده از روش‌های هوشمند تکاملی یا الگوریتم‌های جستجوی تصادفی، لزوما ما را به نتیجه‌ی مطلوب نمی‌رساند.

      

روش عقبگرد

  [بازگشت به فهرست]

یکی از روش‌های حل این مسأله، استفاده از راهبرد عقبگرد است. در این روش تمام فضای مسأله به صورت یک درخت در نظر گرفته می‌شود که سطح $i$ام شامل تمام انتخاب‌های مهره‌ی $i$ام است. با توجه شرایط مسأله در هر سطر از صفحه‌ی شطرنج تنها یک مهره می‌تواند قرار بگیرد. به این ترتیب سطح شماره‌ی $i$، محل مهره iام در سطر شماره‌ی$i$ صفحه‌ی شطرنج را مشخص می‌کند. قسمتی از چنین درختی به ازای $n = 4$ به این صورت خواهد شد:

      

معمای 8 وزیر

      

    پیمایش پیشوندی (PreOrder) چنین درختی تمام حالت‌های فضای مسأله را برای یافتن پاسخ جستجو می‌کند. اما حین پیمایش می‌توان از پیمایش گره‌های غیرامیدبخش صرف‌تظر کرد. گره‌های غیرامیدبخش گره‌هایی هستند که بر اساس تعاریف مسأله می‌توان مطمئن بود هرگز به جواب درست نمی‌رسد. به عنوان مثال، اگر با گره 1 در سطح یک شروع کرده و به گره 1 در سطح دو برویم، این گره امیدبخش نیست. چرا که دو مهره اول در ستون شماره یک چیده شده‌اند و یکدیگر را تهدید می‌کنند. این اتفاق مستقل از این که مهره‌های بعدی در چه محل‌هایی قرار بگیرد مطمئنا به جواب صحیح ختم نمی‌شود. در نتیجه از پیمایش فرزندان گره شماره‌ی 1 در سطح دوم صرف نظر کرده و روال را با فرزند بعدی گره والد آن - یعنی گره شماره‌ی 2 در سطح دوم - ادامه می‌دهیم. به همین ترتیب این گره نیز امیدبخش نیست. چرا که در چنین حالتی مهره در ستون شماره‌ی 2 از سطر دوم قرار می‌گیرد که با وزیر سطر اول و ستون 1 در یک قطر قرار دارند.

    چنین پیمایشی معادل این است که از بالای صفحه‌ی شطرنج (سطر اول) شروع کرده و مهره را در ستون شماره‌ی 1 قرار بدهیم. اگر چینش این مهره با مهره‌های بالاتر تهدیدی ایجاد نکند، چینش مهره‌ی بعدی در سطر بعدی را با همین روش ادامه می‌دهیم. اما اگر تهدیدی اتفاق بیفتد، مهره را یک خانه به سمت راست جابجا می‌کنیم. اگر مهره به انتهای سطر رسیده باشد، آن مهره را برداشته و مهره‌ی سطر بالاتر را یک خانه به سمت راست جابجا می‌کنیم. اگر حین پیش‌روی سطرها به سمت پایین، به انتهای صفحه برسیم، یک جواب از مسأله تولید شده است.

      

انیمیشن معمای 8 وزیر

      

پیاده‌سازی مسأله

  [بازگشت به فهرست]

یکی از مهم‌ترین بخش‌های پیاده‌سازی مسأله‌ی 8 وزیر، روش بررسی تهدید مهره‌ها است.

    یک روش این است که یک آرایه دو بعدی n در n به عنوان صفحه‌ی شطرنج تعریف شود. با مشخص شدن محل هر مهره، تمام خانه‌هایی که توسط آن تهدید می‌شوند علامت‌گذاری می‌شود، تا بررسی غیرامن بودن آنها در مراحل بعدی آسان باشد. این روش در ابتدا بدون مشکل به نظر می‌رسد. اما سوای بحث مصرف حافظه، یک مشکل اساسی دیگر نیز وجود دارد. زمانی که تشخیص می‌دهیم فرزندان یک گره همه غیرامیدبخش هستند، از آن گره صرف نظر کرده و به گره بعدی فرزند والد مراجعه می‌کنیم. در نتیجه باید محل مهره در آن سطر جابجا شده و محل‌های غیرامنی که علامت‌گذاری شده بودند به حالت قبل از علامت‌گذاری بازگردند. اما مسأله اینجاست که محل‌های علامت‌گذاری شده پس از جابجایی لزوما امن نمی‌شوند. ممکن است همچنان توسط مهره دیگری تهدید وجود داشته باشد. تشخیص این مسأله که آیا آن محل به صورت امن مشخص شود یا نه، زمان مصرفی الگوریتم را دو چندان می‌کند.

    در روش دوم، تنها محل قرار گرفتن هر مهره به صورت شماره‌ی سطر و ستون ذخیره می‌شود. این ذخیره‌سازی می‌تواند در یک آرایه‌ی یک بعدی باشد. به این ترتیب که شماره‌ی اندیس آرایه، شماره‌ی سطر مهره را مشخص کرده و مقدار آن، شماره‌ی ستون مهره باشد. مثلا اگر مقدار اندیس شماره‌ی 1 آرایه 4 باشد، یعنی وزیر سطر اول در خانه‌ی چهارم قرار دارد. پس از این تعریف، با مشخص شدن محل یک مهره‌ی جدید، خانه‌هایی که ممکن است این خانه را تهدید کنند بررسی می‌شوند، تا امن بودن آن مشخص شود. مزیت این روش به روش قبلی - علاوه بر مصرف کمتر حافظه - رفع مشکل بررسی محل‌های علامت‌گذاری شده است.

    برای بررسی این مسأله که آیا محل مهره‌ی جدید تهدیدی ایجاد می‌کند یا نه، به جای بررسی تک‌تک خانه‌های ستونی و قطری، از روابط ریاضی استفاده می‌شود. یافتن پاسخ این سوال که آیا در ستونی که مهره قرار دارد، قبلا مهره‌ای قرار داده شده است یا نه، کار چندان دشواری نیست. کافی است یک آرایه‌ی یک بعدی به طول n تعریف شده و هرگاه مهره‌ای در یک ستون مستقر شد، شماره‌ی ستون آن در آرایه به عنوان غیرامن علامتگذاری شود. در نتیجه مثلا اگر مهره‌ی جدید در ستون شماره‌ی 3 قرار گرفت، کافی است اندیس شماره‌ی 3 این آرایه برای اطمینان از امن بودن این ستون بررسی شود.

    در مورد دو قطر راست و چپ موضوع کمی پیچیده به نظر می‌رسد. اما با کمی دقت، یک رابطه‌ی ثابت ریاضی برای هر یک از قطرها وجود دارد. مثلا تفاضل شماره‌ی ستون از شماره‌ی سطر تمامی خانه‌های روی قطر اصلی صفحه صفر است. یا مجموع شماره‌ی سطر و ستون تمامی خانه‌های قطر فرعی صفحه عدد 9 است. به همین ترتیب سایر قطرها نیز رابطه‌ی ریاضی مشابه دارند. در نتیجه مثلا اگر مهره‌ی جدید در سطر سوم و ستون دوم قرار گرفته باشد، تنها کافی است در مهره‌های چیده شده‌ی قبلی دنبال مهره‌ای باشیم که تفاضل ستون از سطر آن عدد 1، یا مجموع آنها عدد 5 باشد. اگر چنین مهره‌ای یافت نشد، تهدیدی از طرف قطرها وجود ندارد. راه بهتر آن است که آرایه‌ای به طول 2n - 1 برای دو قطر راست و چپ تعریف کرده و اگر مهره‌ای در یک قطر مستقر شد، آن قطر به عنوان قطر ناامن در آرایه علامتگذاری شود. در مرحله‌ی بعدی با قرار گرفتن هر مهره‌ی جدید، به جای بررسی تمام خانه‌های مهره‌های قبلی، این دو آرایه بررسی شوند. چنین آرایه‌هایی بر خلاف روش علامت‌گذاری قبلی، مشکل حذف علامت‌ها را ندارد (چرا؟).

      

مسأله‌ی هشت وزیر

      

معمای هشت وزیر

      

    نکته: با توجه به اینکه در قسمت پایین قطر اصلی تفاضل شماره‌ی ستون از شماره‌ی سطر عدد منفی می‌شود، برای حفظ استاندارد شروع از یک، آن را با عدد n جمع می‌زنند. همینطور در مورد مجموع شماره‌ی سطر و ستون، عدد یک کسر می‌شود.

      

روش‌های دیگر حل مسأله

  [بازگشت به فهرست]

همانگونه که عنوان شد، روش عقبگرد تمامی جواب‌های مسأله را تولید کرده و با صرف نظر کردن از گره‌های غیرامیدبخش بهینگی قابل توجهی در زمان اجرای الگوریتم ایجاد می‌کند. اما با افزایش مقدار $n$ و افزایش عمق درخت و تعداد فرزندان هر گره، سرعت اجرا نیز به صورت شبه‌نمایی افزایش یافته و کارایی روش پایین می‌آید.

    اگر هدف از حل مسأله تنها رسیدن به یک جواب باشد، روش‌های دیگری وجود دارد که کارایی بهتری دارند. این روش‌ها عموما از چیدمان تصادفی یا شبه‌تصادفی (تصادفی هوشمند) برای رسیدن به یک جواب استفاده می‌کنند. اکثر الگوریتم‌های مکاشفه‌ای و فرا مکاشفه‌ای - مانند الگوریتم تکاملی ژنتیک - در این حالت جوابگوی نیازها هستند.


این نوشته آخرین بار در تاریخ جمعه، ۲۰ آذر ماه ۱۳۹۴ مورد بازنویسی نگارشی قرار گرفته است.
نوشته‌های مرتبط
        بررسی مسأله‌ی انتخابات، از سوالات مسابقه‌ی برنامه‌نویسی ACM-ICPC 2016 سایت تهران
        بررسی مسأله‌ی آسانسورها (Elevators)، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی ACM
        بررسی مسأله‌ی اعداد اردوش (Erdos Numbers) یا فاصله‌ی همکاری اردوش از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی موجود در کتاب Programming Challenges و وبسایت UVa Online Judge
        بررسی مسأله‌ی دوستان خوب، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی ACM
        بررسی مسأله‌ی حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
        بررسی سوال مسابقات برنامه‌نویسی Turn for MEGA و راه حل آن
        بررسی مسأله‌ی بشکه‌های آب (Water Barrels)، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی بیان
        بررسی مسأله‌ی Simple Addition از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
        بررسی مسأله‌ی تاریخچه‌ی جدول (Grid History)، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی بیان
        بررسی مسأله‌ی مربی ناامید، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی ACM
پیوند کوتاه صفحه دسته‌بندی
امتیاز نوشته
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
ارسال پیام

نام: *  

پست الکترونیک:

وبگاه:

متن پیام: *

right 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 left

 


» خر

سه‌شنبه، ۳ اسفند ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۴:۰۸
01خیلیخر

» علی

چهارشنبه، ۲۰ بهمن ماه ۱۳۹۵، ساعت ۲۲:۳۳
سلام

» طا ها

یکشنبه، ۲۶ دی ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۹:۱۸
ممنونم0604

» مهدی

شنبه، ۲۷ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۲۱:۵۸
باسلام
میشه لطف کنین تابع برخورد در الگوریتم ژنتیک رو تعریف کنین؟؟؟
منظورم کد تابع fitnessهست.


شنبه، ۲۷ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۲۲:۴۲
مسعود:
می‌شه آرایه‌ای به طول تعداد سطرهاتعریف کرد که عدد عنصر i-ام شماره‌ی ستونی هست که مهره در سطر i اونجا قرار گرفته. تابع برازندگی رو هم تعداد برخوردها در نظر گرفت. به این ترتیب یه مسأله‌ی کمینه‌سازی می‌شه که باید تعداد برخوردها حداقل شه.

» soheil

شنبه، ۲۷ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۶:۲۸
سلام من توی مسابقات شطرنج شرکت کرده ام
اما زیاد چیزی در باره ی شطرنج نمیدانم
کسی از شما میتواند کمکم کنید ممنون میشم

» زهرا

دوشنبه، ۲۲ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۲۱:۴۸
سلام
لطفا راهنماییی کنید منظور از این فرمول ریاضی
c-r+8=15 جیه؟

» قوچاني

جمعه، ۱۹ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۰۱:۱۸
سلام
ميشه لطفا اين مسله رو با الگوريتم زنبور عسل توضيح بديد
باتشكر

» محسن

چهارشنبه، ۱۰ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۹:۳۳
عالی بود

» //mn//

دوشنبه، ۸ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۰:۳۱
عالیی دستتون درد نکنه

» زینب

یکشنبه، ۷ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۶:۱۸
08080808080808

» زینب

یکشنبه، ۷ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۶:۱۷
سلام واقعا ممنونم06 خیلی کمک بزرگی بود 12ذهنمو این معما مشغول خودش کرده بود.1010

» آرزو

پنجشنبه، ۲۷ آبان ماه ۱۳۹۵، ساعت ۰۴:۳۶
لطفا کمکم کنید ک متن برنامه رو دریافت کنم

» علی

یکشنبه، ۲ آبان ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۳:۳۴
خیلی باحال بود

» sahra200

شنبه، ۱۶ آبان ماه ۱۳۹۴، ساعت ۱۹:۵۹
سلام
دوستان کسی میتونه به این سوال جواب بده
هفت حالت تعریف شده.به راه حل های فرموله کردن بازی هشت وزیر را بیابید
جوابش شصت و چهار به توان هشت میشود اما چطوری؟
سه راه حل دارد حداقل یکی را بیابید
1 Start-state
2 مجموعه اعمالی که عامل قادر است انها را انجام دهد
3 فضای حالت
4 path یا مسیر
5 qoal test
6 تابع هزینه مسیر
7 نتیجه
برای تابع هزینه مسیر و Qoal test و فضای حالت تعریف درست انجام دهید

» یحیی

جمعه، ۱ آبان ماه ۱۳۹۴، ساعت ۲۳:۰۶
لطفا  راهنمایی کنید
03

» یحیی

جمعه، ۱ آبان ماه ۱۳۹۴، ساعت ۲۳:۰۴
می خواهیم 8 وزیر را در یک صفحه شطرنج به ابعاد  8در 8 قرار دهیم به نحوی که هیچ کدام از وزیرها همدیگر را تهدید نکرده
و
"همچنین"
در صورتیکه هر مهره دیگری را در هر یک از خانه های شطرنج قرار دهیم توسط وزیرها مورد تهدید قرار گیرد"

می خواهیم این مسئله را با الگوریتم ژنتیک شبیه سازی کنیم. مطلوبست:
الف- ساختار ژن
ب- ساختار کرموزوم
ج- تعدادی مثال به عنوان نسل اولیه
د-تابع شایستگی
ه- عملگر تقاطع
و- عملگر جهش
10

» پریا

چهارشنبه، ۴ شهریور ماه ۱۳۹۴، ساعت ۱۳:۰۶
سلام با تشکر از سایت عالی که دارید من با را هنما ای که به من کردید این مسئله رو خیلی زود حل کردم060603

» ana

پنجشنبه، ۷ خرداد ماه ۱۳۹۴، ساعت ۱۴:۰۶
ساده بود.من در کمتر از 30 ثانیه 19 روش پیدا کردم04

» شطرنجباز

جمعه، ۱۷ بهمن ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۱:۱۹
خیلی راحت بود من تونستم تو یک دقیقه 18 روش پیدا کنم.

» الناز

چهارشنبه، ۱۴ آبان ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۵:۱۷
سلام ممنون از اطلاعات خوبتون.من برنامه هشت وزیرو با متلب میخوام اگه کسی داره لطفا کمکم کنه مرسی خیلی ضروریه07

» sara

پنجشنبه، ۱۲ تیر ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۰:۱۵
من ی برنامه میخوام با صورت مساله زیر لطفا راهنمایی بفرمایید،
یک مربع که پنج حروف انگلیسی q،p،r،s،t با سایز یکسان و رنگ مشکی بدون برخورد با یکدیگر درون مربع قرار بگیرند.
با استفاده از برنامه متلب و تابع رندوم

» س

پنجشنبه، ۱۲ تیر ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۰:۱۴
با سلام
من ی برنامه میخوام با صورت مساله زیر لطفا راهنمایی بفرمایید،
یک مربع که پنج حروف انگلیسی q،p،r،s،t با سایز یکسان و رنگ مشکی بدون برخورد با یکدیگر درون مربع قرار بگیرند.
با استفاده از برنامه متلب و تابع رندوم

» سارا

چهارشنبه، ۲ بهمن ماه ۱۳۹۲، ساعت ۰۱:۳۳
سلام. مرسی از سایت خوبتون من توضیح خط به خط کد برنامه n وزیر رو میخواستم با ++c

» مسعود

دوشنبه، ۱۶ دی ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۳:۱۴
خیلی عالی بود هم سوالش و هم توضیحات شما لطفا از این دست مسئله ها البته با کد الگوریتم قرار بدید

» علی چوبین

جمعه، ۲۲ آذر ماه ۱۳۹۲، ساعت ۲۱:۲۷
با تشکر فرآوان از دوستان
اون قدیم ها که رشته مهندسی کامپیوتر قبول شدم  ، درس برنامه نویسی به زبان فرترن ارائه میشد، پروژه درس ما هشت وزیر بود و جالب این که استاد این سئوال را در امتحان پایان ترم آورد و گفت نمره پروژه به کسی داده میشه که این سئوال را سر امتحان هم حل کنه.
یادمه که کل ترم کارم این بود که حالت های مختلف هشت وزیر را روی کاغذ میکشیدم تا شاید بتونم رابطه ای بین آنها پیدا کنم.
آخر سر هم با کاراکتر در حالت تکست صفحه شطرنج را در زبان فرترن کشیدم.
علی چوبین ، فارغ التحصیل رشته مهندسی کامپیوتر سخت افزار از تهران جنوب (ورودی سال 1372)

» دانا

یکشنبه، ۶ اسفند ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۴:۲۶
سلام.سایت خوبی دارین ولی من قبلا برای اولین بار این معمارو در 1:30ثانیه حلش کردم
ولی در کل با حاله03

» امیر

شنبه، ۳۰ دی ماه ۱۳۹۱، ساعت ۲۲:۳۰
می خواهیم 4 وزیر را در یک صفحه شطرنج به ابعاد 7 در 7 قرار دهیم به نحوی که هیچ کدام از وزیرها همدیگر را تهدید نکرده
و
"همچنین"
در صورتیکه هر مهره دیگری را در هر یک از خانه های شطرنج قرار دهیم توسط وزیرها مورد تهدید قرار گیرد"

می خواهیم این مسئله را با الگوریتم ژنتیک شبیه سازی کنیم. مطلوبست:
الف- ساختار ژن
ب- ساختار کرموزوم
ج- تعدادی مثال به عنوان نسل اولیه
د-تابع شایستگی
ه- عملگر تقاطع(به همراه مثال)
و- عملگر جهش(به همراه مثال)



1110
راهنمایی بفرمایید لطفاااااااااااااااااااااا

» مجتبی

پنجشنبه، ۱۸ خرداد ماه ۱۳۹۱، ساعت ۰۲:۵۶
عالیه
دستتون دردنکنه
انشاءالله که خدا همیشه همراه تان باشد.

06     08

» رضا

جمعه، ۲۹ اردیبهشت ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۲:۳۱
خیلی سایت جالب و مفیدی دارید
ممنون

» مهدی

پنجشنبه، ۲۸ اردیبهشت ماه ۱۳۹۱، ساعت ۲۲:۲۹
سلام،
با تشکر از سایت خوبت
می خواستم یه برنامه بنویسم ، جمع ،تفریق، ضرب ، ... اعداد بزرگ با کلاس در c++
لطفا راهنما ییم کنید.