الگوریتمستان

یادداشت‌های یک معلم علاقه‌مند به نوشتن از آنچه آموخته و یاد می‌دهد
 

  

✤  الگوریتم مرتب‌سازی هرمی

مرتب‌سازی هرمی (Heap Sort) یکی از روش‌های مشهور مرتب‌سازی داده‌ها است که بر اساس خصوصیات درخت heap (هیپ، هرم یا کپه)  و عملکرد آن پیاده‌سازی شده است.

بر اساس تعریف درخت heap، در یک max-heap (یا min-heap) بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار بین داده‌ها همواره در ریشه درخت قرار دارد. یافتن بزرگترین (یا کوچکترین) عنصر بین عناصر، هزینه ثابت ( Ө( 1 دارد. با حذف این عنصر از درخت، بزرگترین (یا کوچکترین) عنصر بعدی مجددا در ریشه قرار می‌گیرد. به این ترتیب با حذف متوالی عناصر درخت heap و درج آنها در محل جدید، یک آرایه مرتب‌شده نزولی (یا صعودی) به دست خواهد آمد.

به عنوان نمونه، min-heap زیر را در نظر بگیرید:

  

درخت هیپ

  

مراحل مرتب‌سازی هرمی به ترتیب زیر خواهد بود:

  

Step 0 )   min-heap: 1, 4, 5, 8, 6, 9      -    list:

Step 1 )   min-heap: 4, 6, 5, 8, 9          -    list: 1

Step 2 )   min-heap: 5, 6, 9, 8              -    list: 1, 4

Step 3 )   min-heap: 6, 8, 9                  -    list: 1, 4, 5

Step 4 )   min-heap: 8, 9                      -    list: 1, 4, 5, 6

Step 5 )   min-heap: 9                          -    list: 1, 4, 5, 6, 8

Step 6 )   min-heap:                             -    list: 1, 4, 5, 6, 8, 9

  

در پایان، آرایه list شامل اطلاعات مرتب‌شده صعودی است.

  

بررسی پیچیدگی زمانی مرتب‌سازی هرمی

  [برگرد بالا]

برای مرتب‌کردن عناصر با استفاده از درخت heap، نیاز به n عمل حذف گره ریشه از درخت (یا عمل pop) وجود دارد. عمل حذف گره ریشه در درخت heap خود از مرتبه ( Θ( log n است. در نتیجه کل این عملیات از مرتبه ( Θ( n log n خواهد بود.

نکته قابل توجه دیگر، ساخت درخت heap از عناصر مورد نظر برای مرتب‌سازی است. در حالت عادی عناصر به صورت نامرتب و با چیدمان تصادفی در اختیار هر الگوریتم مرتب‌سازی قرار می‌گیرند. در این حالت یک هزینه زمانی دیگر برای ساخت درخت heap از روی چنین لیستی مورد نیاز است.

  

بررسی فضای مصرفی مرتب‌سازی هرمی

  [برگرد بالا]

در روش بحث شده برای مرتب کردن n عنصر، دو آرایه n عنصری نیاز است. یکی از این آرایه‌ها عناصر را به فرم درخت heap به عنوان ورودی الگوریتم و دیگری عناصر مرتب شده را به عنوان خروجی الگوریتم شامل می‌شوند. در چنین حالتی این الگوریتم یک روش مرتب‌سازی درجا نیست. با اندکی تغییر در روش پیاده‌سازی الگوریتم می‌توان عملکرد دو آرایه را در یک آرایه ادغام کرده و میزان حافظه مصرفی را کاهش داد.

درخت min-heap مثال فوق را در نظر بگیرید. با حذف عدد یک به عنوان گره ریشه درخت و اعمال تغییرات لازم به نتیجه زیر می‌رسیم:

  

مرتب‌سازی هرمی

  

خط عمودی پررنگ، انتهای اطلاعات درخت در آرایه را نشان می‌دهد. خانه شماره 6 حاوی اطلاعات سوخته و بلا استفاده است. پس می‌توانیم عنصر حذف شده را در آن قرار دهیم:

  

مرتب‌سازی هرمی

  

توجه داشته باشید که در حال حاضر درخت از پنج عنصر تشکیل شده است و عنصر ششم آرایه از عناصر درخت نیست. به همین ترتیب با حذف مجدد گره ریشه با مقدار 4 آرایه زیر حاصل می‌شود:

  

مرتب‌سازی هرمی

  

و با درج عنصر حذف شده در محل بلا استفاده:

  

مرتب‌سازی هرمی

  

به همین ترتیب با تکرار الگوریتم نتیجه نهایی حاصل می‌شود:

  

مرتب‌سازی هرمی

  

البته توجه داشته باشید که بر خلاف نتیجه نهایی روش قبل، در این حالت عناصر به صورت نزولی به دست آمده‌اند. یعنی در این روش از درخت min-heap برای مرتب‌سازی نزولی و از درخت max-heap برای مرتب‌سازی صعودی استفاده می‌شود.

مسعود اقدسی فام

مسعود اقدسی فام هستم.

دانش‌آموخته علوم کامپیوتر و فعال حوزه‌های برنامه‌نویسی پایتون، علم داده و یادگیری ماشین

algs.ir/spyqnyj     اشتراک‌گذاری در LinkedIn     اشتراک‌گذاری در Twitter     ارسال با Telegram
نوشته‌ها از این دست
آخرین نوشته‌ها
       ✦   الگوریتم آنلاین
نوشته‌های پرمخاطب
       ✦   برج هانوی
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

نام: *  

پست الکترونیک (محرمانه):

متن پیام: *  

01 02 06 07 08 09 10 11 12 13 14

• مارالانی
۱۶ تیر ۱۳۸۷، ساعت ۲۲:۰۲

عالی بود  .

مسعود اقدسی فام
۱۶ تیر ۱۳۸۷، ساعت ۲۳:۱۱

مخلصیم مهدی جان.

• فرهاد
۱۷ تیر ۱۳۸۷، ساعت ۱۳:۵۹

مسعود جان واقعا دمت گرم خسته نباشی ، سایت خیلی خوبی دارین.

مسعود اقدسی فام
۱۷ تیر ۱۳۸۷، ساعت ۲۳:۰۱

ارادتمندم فرهاد جان. این سایت فقط کار من نیست. دوستان عزیز دیگه ای هم زحمت می کشن. ممنون از لطفت.

• عسل
۱۴ بهمن ۱۳۸۷، ساعت ۱۱:۴۴

سلام

دستتون دردنکنه بابت این سایت واقعاً مفید و به درد بخوره فقط یه سوال داشتم آقایون تابع های مرتب سازی را که نوشتید وقتی اونا رو توی کلاس می نویسم در برنامه اصلی چه جوری باید فراخوانی کنم ؟ لطفاً کمکم کنید

• مجید نصیری
۱ فروردین ۱۳۸۸، ساعت ۲۲:۲۸

واقعا دمتون گرم خسته نباشید ، سایت خیلی خوبی دارین.

• مینا
۲ اردیبهشت ۱۳۸۸، ساعت ۱۲:۰۰

ba salam be shoam man barnamei mikham ke tamame algorithm haye moratab sazi ro piade sazi koneage mishe in barnama ro baram mail bezanid  mozo  kheili hayatie ba tashkor az tamame dostan

• mina
۲ اردیبهشت ۱۳۸۸، ساعت ۱۲:۰۲

این سایت واقعا عالیه  خسته نباشید

• نجمه
۶ آبان ۱۳۹۰، ساعت ۲۳:۲۵

خیلی ممنون

خیلی خوبه...کاش کد هرمی رو هم قرار داده بودید060612

• حسین
۷ دی ۱۳۹۰، ساعت ۲۰:۰۲

لطفا کد هرمی رو هم قرار دهید

• محسن
۳۰ دی ۱۳۹۰، ساعت ۰۹:۵۴

ممنون ..

• منادی
۲ بهمن ۱۳۹۰، ساعت ۱۵:۵۷

پرمحتوایی داری

متشکر

12

• ali
۲۱ آبان ۱۳۹۱، ساعت ۲۰:۳۸

aliiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii     ey kash code  boodeesh.ke  beshe  khodemon trace konim motevajeh beshiim

۲۱ آبان ۱۳۹۱، ساعت ۲۰:۵۹
• مسعود اقدسی فام

ممنون دوستان عزیز.

کد در قسمت معرفی درخت هیپ موجوده.

• شیوا
۱۳ آذر ۱۳۹۱، ساعت ۱۳:۰۶

سلام اگه میشه در مورد این سوال منو راهنمایی کنید:

برنامه ای بنویسید که با دریافت عدد nمشخص کند با این عدد چه تعداد max-heap می توان ساخت به عنوان مثال اگر کاربر عدد 7 را وارد کند پاسخ 80 میشود.

گفتن باید یک فرمول دربیارید!!!!!!

• ارد
۱۴ آذر ۱۳۹۱، ساعت ۰۷:۵۰

باسلام وتشکروخسته نباشیدازاین سایت وزین وبامطالب باارزش .  لطفا در صورت امکان محاسبات ریاضی پیچیدگی زمان اجرای الگوریتم درمرتب سازی

هاراهم به مطالبتان اضافه فرمایید.01

• محمد
۲ دی ۱۳۹۱، ساعت ۱۰:۱۳

با سلام خدمت شما دوست عزیز یک سوال از شما داشتم.

مرتبه زمانی الگوریتم هافمن برابر تتا (n log n) بر اساس عملکرد هافمن و بررسی مفهوم maxheap و minheap تحلیل کنید چرا مرتبه ی زمانی هافمن برابر زمان ذکر شده است؟

با تشکر

ضمناً مطالب سایت آموزنده می باشد.

• فرزاد کمالی فر
۱۶ دی ۱۳۹۱، ساعت ۲۳:۲۲

توضیحات روان و قابل درک بود

متشکر

• مریم
۲۴ اردیبهشت ۱۳۹۲، ساعت ۱۴:۲۳

با سلام حذف یک عنصر از درخت مکس هیپ رو میخواستم

• محمدعلی
۲۰ مرداد ۱۳۹۲، ساعت ۱۹:۳۹

حذف از درخت مکس هیپ از ریشه صورت میگیرد به این صورت آخرین داده درخت (که کامل بودن درخت را نقض نکند) به جای ریشه قرار میگیرد و مجددا عمل heaping انجام میشود. به سایت ماهم سر بزنید:

mohajerunivercity.blogfa.com

• نجمه
۱۹ فروردین ۱۳۹۳، ساعت ۱۴:۲۲

سلام

عالی بود

ممنون01

• علی
۱۳ خرداد ۱۳۹۳، ساعت ۱۴:۵۵

خواهشن کد...

• simon
۱۹ تیر ۱۳۹۸، ساعت ۱۵:۰۷

عالی

خسته نباشید