بستن پنجره
فرادرس - مجموعه آموزش‌های ویدئویی  مهندسی کامپیوتر - طراحی الگوریتم - ساختمان داده
بستن پنجره     از آخرین نوشته‌ها

»    مسابقه‌ی برنامه‌نویسی CodeCup 2018

»    دوره‌ی طراحی و تحلیل الگوریتم دانشگاه استنفورد

»    مسئله‌ی انتخابات

مسئله‌ی حداکثر مجموع - الگوریتمستان
الگوریتمستان
614.335.00
  »  

       

بررسی مسئله‌ی حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی

آنچه در این نوشته می‌خوانید:
   •  مسئله‌ی حداکثر مجموع
       »  مسئله
       »  ورودی برنامه
       »  خروجی برنامه
       »  حل مسئله

مسئله

  [بازگشت به فهرست]

    ماتریس مربعی با ابعاد $N$ در $N$ و درایه‌هایی از اعداد صحیح موجود است. منظور از زیرماتریس بیشینه، زیرماتریسی از ماتریس مفروض است که مجموع عناصر آن بزرگتر یا مساوی مجموع عناصر هر زیرماتریس دیگر آن است.

    به عنوان مثال، برای ماتریس زیر:

      

\[ \begin{matrix} 0 & -2 & -7 & 0 \\ 9 & 2 & -6 & 2 \\ -4 & 1 & -4 & 1 \\ -1 & 8 & 0 & -2 \end{matrix} \]

      

    زیرماتریس بیشینه به این ترتیب خواهد بود:

      

\[ \begin{matrix} 9 & 2 \\ -4 & 1 \\ -1 & 8 \end{matrix} \]

  

    برنامه‌ای بنویسید که مجموع عناصر زیرماتریس بیشینه را چاپ کند.

      

ورودی برنامه

  [بازگشت به فهرست]

اولین سطر ورودی شامل عدد $N$ (نابیشتر از 100) است. در سطرهای بعدی تعداد $N^2$ عدد صحیح قرار دارند که عناصر ماتریس مفروض را با نمایش سطری مشخص می‌کنند. یعنی $N$ عدد اول مربوط به سطر اول ماتریس است و الی آخر.

      

4

0   -2   -7   0   9   2   -6   2

-4   1   -4   1   -1

8   0   -2

  

خروجی برنامه

  [بازگشت به فهرست]

خروجی شامل مجموع عناصر زیرماتریس بیشینه خواهد بود.

      

15

      

    منبع: وب‌سایت UVa Online Judge - مسئله‌ی Maximum Sum

      

حل مسئله

  [بازگشت به فهرست]

فرض کنید منظور از (Sum(R1, C1, R2, C2 مجموع عناصر زیرماتریسی است که در سطرهای R1 تا R2 و ستون‌های C1 تا C2 قرار دارد. به عنوان مثال (Sum(0, 0, N - 1, N - 1 مجموع تمام عناصر از سطر اول تا آخر و ستون اول تا آخر است که همان مجموع کل عناصر ماتریس می‌شود. با این تعریف، هدف یافتن مقدار خروجی بیشینه برای تابع Sum با توجه به ورودی‌های مختلف آن است.

    ساده‌ترین راه برای حل این مسئله بررسی تمام زیرماتریس‌ها و محاسبه‌ی مجموع عناصر آنها است:

      

int main()
{
    int n, i, j, k, l, a, b, s, maxSum, matrix[100][100];
    cin >> n;
    for(i = 0 ; i < n ; i++){
        for(j = 0 ; j < n ; j++){
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }
10     maxSum = matrix[0][0];
11     for(i = 0 ; i < n ; i++){
12         for(j = 0 ; j < n ; j++){
13             for(k = i ; k < n ; k++){
14                 for(l = j ; l < n ; l++){
15                     s = 0;
16                     for(a = i ; a <= k ; a++){
17                         for(b = j ; b <= l ; b++){
18                             s += matrix[a][b];
19                         }
20                     }
21                     if(s > maxSum){
22                         maxSum = s;
23                     }
24                 }
25             }
26         }
27     }
28     cout << maxSum << endl;
29     return 0;
30 }

  

    این روش محاسبه‌ی مستقیم با توجه به شش حلقه‌ی تکرار تو در تو از مرتبه‌ی اجرای $ O(N^6)$ است که برای Nهای بزرگ کارایی نداشته و با خطای Time limit exceeded مواجه خواهد شد.

    علت این مشکل در محاسبات تکراری موجود در این روش نهفته است. به عنوان مثال، برای محاسبه‌ی (Sum(2, 3, 5, 7 قطعه کد فوق تمام عناصر بین سطرهای 2 و 5 و ستون‌های 3 و 7 را جمع می‌زند. در مرحله‌ی بعد (Sum(2, 3, 5, 8 محاسبه می‌شود که تمامی عناصر بین سطرهای 2 تا 5 و ستون‌های 3 تا 8 جمع زده می‌شوند؛ یعنی محاسبه‌ی تابع با این ورودی‌ها یکبار دیگر به طور کامل محاسبه‌ی تابع قبلی را انجام داده و تنها عناصر سطرهای 2 تا 5 مربوط به ستون 8 را اضافه می‌کند. این محاسبات تکراری برای $N$-های بزرگی مانند 100 سربار زمانی بسیار زیادی تولید می‌کند.

    کلید حل معما در این است که بدانیم:

      

Sum(R1, C1, R2, C2) = Matrix[R2][C2] + Sum(0, 0, R2 - 1, C2) + Sum(0, 0, R2, C2 - 1) - Sum(0, 0, R2 - 1, C2 - 1) - Sum(0, 0, R1 - 1, C1) - Sum( 0, 0, R1, C1 - 1) + Sum(0, 0, R1 - 1, C1 - 1)

  

    اثبات این رابطه به عنوان یک تمرین خوب به خواننده واگذار می‌شود. در این رابطه محاسبه‌ی تابع Sum به جمع زدن عنصر سطر R2 و ستون C2 با شش محاسبه‌ی بازگشتی از خود تابع Sum تبدیل می‌شود. ویژگی اصلی این شش تابع در این است که دو پارامتر اول آنها همواره صفر هستند. یعنی در کل به صورت (Sum(0, 0, a, b هستند که مجموع عناصر ماتریس از ابتدای آن تا سطر a و ستون b خواهد بود. محاسبه‌ی چنین عباراتی با دو حلقه‌ی تکرار تو در تو با مرتبه‌ی اجرایی $ O(N^2)$ میسر است. نتایج این محاسبات برای استفاده در مرحله‌ی بعدی در محل جداگانه‌ای ذخیره می‌شود.

    به همین ترتیب می‌توان از رابطه‌ی زیر نیز استفاده کرد که عملیات کمتری نیاز دارد:

      

Sum(R1, C1, R2, C2) = Sum(0, 0, R2, C2) - Sum(0, 0, R1, C1 - 1) - Sum(0, 0, R1 - 1, C1) + Sum(0, 0, R1 - 1, C1 - 1 )

      

    پس از اتمام محاسبات مرحله‌ی اول، به سراغ محاسبه‌ی تمامی حالات (Sum(R1, R2, C1, C2 می‌رویم تا مقدار آن به ازای زیرماتریس بیشینه به دست بیاید. تولید مختصات هر زیرماتریس با چهار حلقه‌ی تو در تو امکان‌پذیر است که سطرهای ابتدا و انتها و ستون‌های ابتدا و انتها را مشخص می‌کنند. در داخل این حلقه‌ها مقدار (Sum(R1, R2, C1, C2 بر اساس رابطه‌ی فوق و مقادیر ذخیره شده در حافظه محاسبه شده و در نهایت بیشترین آنها به عنوان زیرماتریس بیشینه مشخص می‌شود.

    چنین الگوریتمی با توجه به چهار حلقه‌ی تکرار تو در تو از مرتبه $O( N^4)$ است که در مقایسه با مرتبه‌ی $O( N^6)$ بهبود چشم‌گیری دارد. البته می‌توان الگوریتم را طوری پیاده‌سازی کرد که عملیات ذخیره‌ی مقادیر (Sum(0, 0, a, b و محاسبات نهایی به صورت همزمان انجام شود. در این حالت سربار $ O( N^2 )$ نیز از ابتدای الگوریتم حذف می‌شود.


این نوشته آخرین بار در تاریخ پنجشنبه، ۱۰ فروردین ماه ۱۳۹۶ مورد بازنویسی نگارشی قرار گرفته است.

این نوشته آخرین بار در تاریخ مورد بازنویسی علمی قرار گرفته است.
پیوندها برای مطالعه‌ی بیشتر
نوشته‌های مرتبط
        ویدئوهای آموزشی دوره‌ی Algorithms: Design and Analysis دانشگاه استنفورد با زیرنویس انگلیسی
        متن فارسی مسئله‌ی Encrypted SMS از سوالات مسابقه‌ی برنامه‌نویسی ACM-ICPC 2007 منطقه‌ای سایت تهران
        متن فارسی مسئله‌ی Jolly Jumpers از سوالات تمرینی کتاب‌های آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی و وبسایت UVa Online Judge
        متن فارسی مسئله‌ی Gholam's Simple Game از سوالات مسابقه‌ی برنامه‌نویسی ACM-ICPC 2010‌ منطقه‌ای سایت تهران
        مستندات دوره‌ی Introduction to Programming Contests دانشگاه استنفورد با موضوع ریاضیات، ساختمان داده‌ها و الگوریتم‌های مورد نیاز برای شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی
        راه حل سوالات مسابقه‌ی جهانی ACM-ICPC 2016
        متن فارسی مسئله‌ی The Trip از سوالات تمرینی کتاب‌های آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی و وبسایت UVa Online Judge
        متن فارسی مسئله‌ی شماره‌ی 343 از UVa Online Judge، ار سوالات تمرینی کتاب‌های آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
        متن فارسی مسئله‌ی 3n+1 Problem (حدس کولاتز یا حدس 3n+1) از سوالات تمرینی کتاب‌های آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی و وبسایت UVa Online Judge
        ویدئوهای آموزشی کلاس Programming Challenges شامل مباحث الگوریتم‌ها، ساختمان داده‌ها و ریاضیات محاسباتی برای آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
پیوند کوتاه صفحه دسته‌بندی
امتیاز نوشته
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
ارسال پیام

نام: *  

پست الکترونیک:

وبگاه:

متن پیام: *

right 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 left

 


» Aysa

جمعه، ۲۲ آذر ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۰:۵۵
با سلام
میشه زمان های حذف و اضافه رو هم در درخت heap تحلیل کنید؟؟؟؟؟؟
ممنون میشم!01