برج هانوی - الگوریتمستان
الگوریتمستان
10714.285.00
  »  

       

بررسی مسئله‌ی برج هانوی و روش‌های حل بازگشتی و غیربازگشتی آن به همراه کد به زبان ++C

http://www.aachp.ir آنچه می‌خوانید ویراست جدید نوشته‌ای است که اولین بار با عنوان «حل مساله برج هانوی به روش غیربازگشتی» مرداد ماه 1387 از طریق وبگاه برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و طرح پیشین وبگاه الگوریتمستان) منتشر شده بود.


علاقه‌مندان به مباحث مختلف طراحی الگوریتم و همینطور شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی به خوبی می‌دانند که یکی از مهمترین پارامترهای طراحی موفقیت‌آمیز یک الگوریتم، شیوه‌ی صحیح فکر کردن روی حل مسئله است. حل انواع سوالات الگوریتمی به ما کمک می‌کند ذهن خودمان را برای حل مسائل پیچیده‌تر آماده کنیم.

    مسئله‌ی برج هانوی (Tower of Hanoi) یکی از مسائل تاریخی مشهور است که در مباحث طراحی الگوریتم نیز به آن پرداخته می‌شود.

    به شکل زیر توجه کنید:

      

برج هانوی

      

    سه میله‌ی - میله‌ی مبدأ (A) ، میله‌ی کمکی (B) و میله‌ی مقصد (C) - و تعدادی دیسک در میله‌ی مبدأ داریم. هدف انتقال تمام دیسک‌ها از این میله به میله‌ی مقصد با رعایت دو شرط زیر است:

  • در هر زمان فقط یک دیسک را می‌توان جابجا نمود.
  • نباید در هیچ زمانی دیسکی بر روی دیسک با اندازه‌ی کوچکتر قرار بگیرد.

    به طور حتم می‌توان با روش آزمون و خطا به نتیجه‌ی مطلوب رسید. اما هدف ما ارائه‌ی الگوریتمی برای انتقال دیسک‌ها با کمترین جابجایی ممکن است.

    به عنوان مثال، اگر $ n = 2 $ باشد:

      

برج هانوی

      

    1) دیسک 1 را به میله‌ی B منتقل می‌کنیم $ (A \rightarrow B) $:

      

برج هانوی

      

    2) دیسک 2 را به میله‌ی C منتقل می‌کنیم $(A \rightarrow C)$:

      

برج هانوی

      

    3) دیسک 1 را به میله‌ی C منتقل می‌کنیم $(B \rightarrow C)$:

      

برج هانوی

      

    توجه داشته باشید که بر اساس قانون اول، نمی‌توان به غیر از بالاترین دیسک هر میله، به دیسک دیگری از آن دسترسی پیدا کرد.

      

حل بازگشتی مسئله‌ی برج هانوی

  [بازگشت به فهرست]

برای اینکه بتوان از روش بازگشتی تقسیم و حل (یا تقسیم و غلبه - Divide and Conquer) برای حل یک مسئله استفاده نمود، مسئله باید قابلیت خرد شدن به زیرمسئله‌هایی از همان نوع مسئله‌ی اصلی و اندازه‌ی کوچکتر را داشته باشد. این ویژگی در مورد مسئله‌ی برج هانوی صدق می‌کند.

    ایده‌ی اصلی از آنجا ناشی می‌شود که برای جابجا کردن بزرگترین دیسک از میله‌ی A به میله‌ی C، ابتدا باید تمامی دیسک‌های کوچکتر به میله‌ی B منتقل شوند. پس از تمام شدن این مرحله، دیسک بزرگ را از میله‌ی A به میله‌ی C منتقل کرده و مجددا به کمک میله‌ی A تمامی دیسک‌های میله‌ی B را به میله‌ی C منتقل می‌کنیم. پس به طور خلاصه می‌توان گفت:

    مرحله‌ی یک: $n - 1$ دیسک بالایی میله‌ی مبدأ با شرایط ذکر شده و به کمک میله‌ی C به میله‌ی B منتقل می‌شوند.

    مرحله‌ی دو: بزرگترین دیسک از میله‌ی مبدأ به میله‌ی مقصد منتقل می‌شود.

    مرحله‌ی سه: $n - 1$ دیسک میله‌ی B با کمک گرفتن از میله‌ی A به میله‌ی مقصد منتقل می‌شوند.

    می‌بینیم که توانستیم عملیات جابجا کردن $n$ دیسک را به دو عملیات مشابه ولی با اندازه‌ی کمتر و یک عملیات ساده تقسیم کنیم.

    تابع بازگشتی زیر به زبان ++C ترتیب حرکت‌ها را چاپ می‌کند:

      

void hanoi(int nDisk, char start, char temp, char finish){
  if(nDisk == 1)
    cout << start << " -> " << finish << endl;
  else{
    hanoi(nDisk - 1, start, finish, temp);
    cout << start << " -> " << finish << endl;
    hanoi(nDisk - 1, temp, start, finish);
  }
}

  

    برای مثال، فراخوانی تابع به صورت ('hanoi(3, A’, ‘B’, ‘C، مسئله‌ی برج هانوی را با سه دیسک که در میله‌ی A قرار دارند و با کمک میله‌ی B به میله‌ی C منتقل خواهند شد، حل می‌کند.

    واضح است که تابع بازگشتی فوق کمترین تعداد حرکت را چاپ می‌کند. چرا که برای جابجا کردن بزرگترین دیسک از پایین میله‌ی A، بقیه‌ی دیسک‌ها باید در میله‌ی B باشند. فقط در این صورت این دیسک جابجا می‌شود. در فراخوانی‌های بعدی، دیسک دوم از نظر بزرگی جابجا می‌شود و الی آخر. پس در این فراخوانی‌ها جابجایی بیهوده‌ای صورت نمی‌گیرد. نیز توالی حرکت‌ها برای هر $n$ منحصر بفرد است. یعنی برای یک $n$ مشخص، دو توالی متمایز از جابجایی‌ها وجود ندارد که تعداد جابجایی آنها کمتر یا مساوی این حالت باشد.

      

تحلیل پيچيدگي زمانی مسئله‌ی برج هانوی

  [بازگشت به فهرست]

در حالت کلی می‌خواهیم بدانیم اگر تعداد دیسک‌ها $n$ باشد، کمترین تعداد حرکت برای جابجا نمودن دیسک‌ها چقدر است؟

    فرض کنید $ T(n) $ تعداد حرکت‌های لازم جهت انتقال $n$ دیسک به مقصد باشد. بر اساس توضیحات فوق، تعداد $T(n - 1)$ حرکت برای انتقال $n - 1$ دیسک به میله‌ی کمکی، یک حرکت برای انتقال بزرگترین دیسک به میله‌ی مقصد و مجددا $ T(n - 1) $ حرکت برای انتقال $n - 1$ دیسک موجود در میله‌ی کمکی به میله‌ی مقصد نیاز است. پس:

      

\[T(n) = 2 T(n - 1) + 1 \]

      

    با حل این رابطه‌ی بازگشتی به روش‌های ریاضی، به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم:

      

\[T(n) = 2^n  - 1 \]

  

    مرتبه‌ی اجرایی این الگوریتم $ O(2^n) $ است که چندان مرتبه‌ی مطلوبی به نظر نمی‌رسد. اما همانگونه که بحث شد، این روش حداقل تعداد حرکت‌های ممکن را می‌دهد؛ و هرگز نمی‌توان روش دیگری با مرتبه‌ی پایین‌تر برای حل آن یافت.

      

حل غیربازگشتی مسئله‌ی برج هانوی

  [بازگشت به فهرست]

مسئله‌ی برج هانوی علاوه بر روش تابع بازگشتی، راه حل‌های غیربازگشتی نیز دارد. تا به اینجا مشخص شده است که بهترین راه حل برای جابجا کردن $n$ دیسک، به تعداد نمایی حرکت نیاز دارد. در نتیجه مرتبه‌ی راه حل‌های آن در بهینه‌ترین حالت - چه بازگشتی و چه غیربازگشتی - از مرتبه‌ی $ 2 ^n $ خواهد بود. اما آنچه که راه حل بازگشتی و غیربازگشتی را از هم متمایز می‌کند، مرتبه‌ی فضای مصرفی آن است.

    حل بازگشتی مسئله، فراخوانی‌های تو در تو و فضای پشته از مرتبه‌ی $ O(n) $ نیاز دارد. در حالی که می‌توان با استفاده از روش غیربازگشتی این مرتبه را به $ O(1) $ کاهش داد. البته این مسئله تنها دلیل بررسی روش غیربازگشتی نیست. تبدیل مرتبه‌ی مصرف فضا از $ O(n) $ به $ O(1) $ زمانی که مرتبه‌ی اجرای الگورینم $ O(2 ^ n) $ است، چندان قابل توجه نیست. دلیل دیگر می‌تواند این باشد که برخی زبان‌های برنامه‌نویسی از فراخوانی بازگشتی توابع پشتیبانی نمی‌کنند و مجبور به استفاده ار روشهای غیربازگشتی هستند. اما دلیل اصلی این است که با بررسی این روش‌ها، تمرین کوچکی برای تبدیل الگوریتم‌های بازگشتی به غیربازگشتی انجام می‌دهیم.

    تا کنون چندین روش مختلف جهت پیاده‌سازی غیربازگشتی حل مسئله‌ی برج هانوی ارائه شده است که در اینجا دو روش معرفی می‌شود. توجه داشته باشید که همه‌ی جزئیات حل مسئله به صورت دقیق و مشروح مطرح نمی‌شود و استدلال قسمتی از نتیجه‌گیری‌ها به عنوان تمرین به خواننده واگذار می‌گردد.

    روش اول- حل مسئله‌ی برج هانوی را می‌توان معادل پاسخ دادن به این سوال دانست که: در هر مرحله کدام دیسک به کدام میله منتقل می‌شود؟

    سوال اول: کدام دیسک؟ فرض کنیم دیسک‌هایی به شعاع $y$، $x$ و $z$ که رابطه‌ی $ x < y < z $ را با هم دارند، کوچکترین دیسک هر میله باشند. به عبارت دیگر، این سه دیسک بالاترین دیسک‌های میله‌ها هستند که قابلیت جابجایی دارند. اگر میله‌ای شامل هیچ دیسکی نباشد، دیسکی با شعاع بی‌نهایت را برای آن در نظر می‌گیریم. حال به استدلال‌های منطقی زیر توجه کنید:

    استدلال شماره‌ی 1) $x$ برابر 1 است. چرا که بر اساس قوانین حاکم بر مسئله، هیچ دیسکی نمی‌تواند روی دیسک 1 قرار بگیرد. در نتیجه این دیسک همیشه بالاترین دیسک موجود در یکی از میله‌ها است.

    استدلال شماره‌ی 2) در آغاز همه‌ی دیسک‌ها روی یک میله قرار دارند که دیسک 1 بالاترین دیسک آن است. پس در اولین مرحله دیسک 1 جابجا می‌شود.

    استدلال شماره‌ی 3) دیسک‌هایی که طی دو مرحله‌ی متوالی جابجا می‌شوند حتما متمایز هستند. این مسئله از بهینه بودن راه حل ناشی می‌شود. اگر قرار باشد طی دو مرحله‌ی متوالی یک دیسک خاص را جابجا کنیم، می‌توانیم دو مرحله را با هم ادغام کرده و کل جابجایی را یکجا انجام دهیم.

    استدلال شماره‌ی 4) با توجه به قوانین حاکم بر مسئله، دیسک $z$ نمی‌تواند حرکت کند. چرا که دیسک‌های $x$ و $y$ هر دو از آن کوچکتر هستند.

    استدلال شماره‌ی 2 می‌گوید که اولین حرکت همیشه با دیسک 1 است. استدلال شماره‌ی 3 می‌گوید حرکت بعدی با دیسکی غیر از دیسک 1 است. استدلال شماره‌ی 4 می‌گوید این دیسک نمی‌تواند بزرگترین دیسک موجود در بالای میله‌ها باشد. پس در مرحله‌ی بعدی دیسک $y$ جابجا خواهد شد. و بالاخره حرکت بعدی باز هم با دیسک 1 است (چرا؟).

    پس با بررسی منطقی خود به این نتیجه رسیدیم که دیسک 1 و دیسکی که بزرگترین دیسک در آن مرحله نیست، به صورت متناوب جابجا می‌شوند. مراحل با شماره‌ی فرد برای دیسک 1 و مراحل با شماره‌ی زوج برای دیسک y.

    سوال دوم: کدام میله؟ حال که می‌دانیم در هر مرحله کدام دیسک جابجا می‌شود، به سراغ میله‌ی مقصد می‌رویم. در مراحل زوج که دیسک $y$ منتقل خواهد شد، تشخیص میله‌ی مقصد بسیار آسان است. چرا که روی یکی از میله‌ها دیسک 1 قرار دارد که دیسک $y$ نمی‌تواند روی آن قرار بگیرد. در نتیجه به تنها میله‌ی باقیمانده (میله‌ی دیسک $z$) منتقل می‌شود. در مورد مراحلی هم که دیسک 1 قرار است جابجا شود، می‌توان اینطور استدلال کرد:

    فرض کنیم دیسک 1 روی میله‌ی A قرار داشته باشد و آن را به میله‌ی C منتقل کنیم. در مرحله‌ی بعدی دیسک y جابجا می‌شود. و در مرحله‌ی بعد باز هم دیسک 1 باید جابجا شود. حال اگر این دیسک را به میله‌ی A بازگردانیم، به نوعی کار اضافی و بازگشت به عقب انجام داده‌ایم. برای آشکار شدن این موضوع کافی است مسئله‌ی برج هانوی را با دو دیسک حل کنید و در حرکت دوم دیسک 1، آن را به میله‌ای بازگردانید که از آن آمده بود. پس می‌توان گفت: در حرکت‌های متوالی، دیسک شماره‌ی 1 به میله‌ای حرکت می‌کند که از آن به میله‌ی فعلی خود نیامده است. این مسئله نه تنها در مورد دیسک 1 که در مورد همه‌ی دیسک‌ها صادق است. یعنی همه‌ی دیسک‌ها در حرکت‌های خود به سمت میله‌ای می‌روند که در حرکت قبلی خود از آن نیامده‌اند. اما لحاظ کردن این شرط برای این دیسک‌ها لازم نیست. چرا که در هر مرحله، تنها یک انتخاب برای حرکت خود دارند.

    تنها مسئله‌ی باقیمانده، میله‌ی مقصد دیسک 1 در اولین حرکت خود است. زمانی که این دیسک اولین حرکت خود را انجام می‌دهد، نمی‌توان از استدلال فوق برای تشخیص میله‌ی مقصد استفاده کرد (چرا؟). استدلال این قسمت را هم که چندان دشوار نیست به شما وا می‌گذارم و تنها به بیان نتیجه می‌پردازم: اگر تعداد دیسک‌ها زوج باشد، دیسک 1 را در اولین حرکت به میله‌ی کمکی (یعنی میله‌ی B) و در غیر اینصورت به میله‌ی مقصد (یعنی میله‌ی C) منتقل می‌کنیم.

    به این ترتیب حل مسئله‌ی برج هانوی به صورت غیربازگشتی پیاده‌سازی می‌شود. حال می‌دانیم که در هر مرحله کدام دیسک به کدام میله منتقل می‌شود.

    روش دوم: یکی دیگر از روش‌های پیاده‌سازی غیربازگشتی حل مسئله‌ی برج هانوی که در یک منبع اینترنتی مشاهده کردم، از الگوریتم زیر تبعیت می‌کند:

      

void hanoi(int nDisk, char start, char temp, char finish){
  int max = nDisk;
  char dest = finish;
  int disk = max;
  while(true){
    while(disk > 0){
      if(moving disk succeeds)
      {
        if(disk == max){
10           max--;
11           if(max == 0)
12             return;
13         }
14         dest = the final place of max;
15       }
16       else
17         dest = the alternative place between dest and the current place of disk;
18       disk--;
19     }
20     p and q = the places different of dest;
21     disk = the smaller of the disks on top of p and q;
22     dest = the place between p and q with greater disk on top;
23   }
24 }

  

    تشریح عملکرد این الگوریتم یک تمرین خوب است. توضیح اینکه این الگوریتم بر خلاف الگوریتم قبلی که سعی در یافتن قوانین حرکت دیسک‌ها داشت، دقیقا همان روش بازگشتی را شبیه‌سازی می‌کند.

     در پایان توجه داشته باشید که دو روش ذکر شده، تنها روشهای پیاده‌سازی غیربازگشتی حل مسئله نیستند.


این نوشته آخرین بار در تاریخ دوشنبه، ۱۱ مرداد ماه ۱۳۹۵ مورد بازنویسی نگارشی قرار گرفته است.
نوشته‌های مرتبط
        بررسی مسئله‌ی حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
        بررسی مسئله‌ی تاریخچه‌ی جدول (Grid History)، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی بیان
        بررسی مسئله‌ی انتخابات، از سوالات مسابقه‌ی برنامه‌نویسی ACM-ICPC 2016 سایت تهران
        بحث در مورد ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و روش پیاده‌سازی الگوریتم پرانتزبندی بهینه‌ی آن با روش تقسیم و حل و روش برنامه‌نویسی پویا
        بررسی مسئله‌ی اعداد اردوش (Erdos Numbers) یا فاصله‌ی همکاری اردوش از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی موجود در کتاب Programming Challenges و وبسایت UVa Online Judge
        بررسی مسئله‌ی آسانسورها (Elevators)، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی ACM
        بررسی الگوریتم‌های محاسبه‌ی دنباله‌ی اعداد فیبوناچی و کارایی آنها
        آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه‌‌ی حاصلضرب ماتریس‌ها
        بررسی مسئله‌ی بشکه‌های آب (Water Barrels)، از سوالات مسابقات برنامه‌نویسی بیان
        بررسی روش‌های بسط لاپلاس، گاوس، فرمول تحویل و ساروس، برای محاسبه‌ی دترمینان ماتریس مربعی و پيچيدگي زمانی آنها
پیوند کوتاه صفحه دسته‌بندی
امتیاز نوشته
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
ارسال پیام

نام: *  

پست الکترونیک:

وبگاه:

متن پیام: *

 


» aa

چهارشنبه، ۲۸ مهر ماه ۱۳۸۹، ساعت ۱۱:۵۲
منبع: ويكي پديا


چهارشنبه، ۲۸ مهر ماه ۱۳۸۹، ساعت ۱۴:۰۸
مسعود:
دوست خوبم،
تمامی مطالب این وب‌سایت نوشته‌های خود من هستن.
این مطلب رو همونطور که در ابتدای نوشته هم مشاهده می کنید، مدتها قبل از طریق وب‌سایت برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم منتشر کرده بودم و با کمی ویرایش مجددا اینجا قرار دادم.
دوست عزیزی لطف کرده و این مطلب رو داخل ویکی‌پدیا درج کرده. اگر هم دقت کنید آخر مطلب اشاره کرده که یکی از منابع نوشته‌هاش وب‌سایت برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم بوده.
باز هم ممنون از توجهت.

» امید

جمعه، ۱۲ آذر ماه ۱۳۸۹، ساعت ۱۷:۲۶
استفاده کردیم
مرسی

» shokouh

دوشنبه، ۲۲ فروردین ماه ۱۳۹۰، ساعت ۲۱:۳۴
ممنون که اطلاع رسانی میکنید.موفق باشید

» شادی

شنبه، ۲۳ مهر ماه ۱۳۹۰، ساعت ۱۳:۵۷
خوب بود ممنون12

» کیارش

سه‌شنبه، ۲۶ مهر ماه ۱۳۹۰، ساعت ۱۶:۰۸
سلام دوست عزیز من دانشجوی دانشگاه زنجانم استاد ما یه تمرین خواسته که الگوریتم بازگشتی مسئله برج هانوی راکه اجازه ی انتقال مستقیم دیسک از میله مبدا به میله مقصد وجود نداشته باشد را بنویسید. از کجا میشه یه کمکی بگیرم؟ تا فردا ظهر وقت دارم وگرنه به اضای هر 1 جلسه دیر کرد 40 درصد نمره مربوطه رو  از دست میدم

» masoud

جمعه، ۴ آذر ماه ۱۳۹۰، ساعت ۱۱:۴۹
با سلام.
من الگوریتم برج هانویی رو میخوام که با 3 دیسک باشد و هر 3 میله ارزش مساویی دارند.به عنوان مثال توی هر میله 3 تا دیسک یک نو است میخواهیم این 3 میله به هم تغییر کنند

» شقایق

سه‌شنبه، ۱۵ آذر ماه ۱۳۹۰، ساعت ۱۹:۳۶
خیلی عالی بود.مدت ها بود از اینکه توی سایتی میچرخم لذت نبرده بودم.موفق باشید

» ناشناس

سه‌شنبه، ۲۹ آذر ماه ۱۳۹۰، ساعت ۲۳:۴۹
سلام واقعا ممنون
خیلی بدردم خورد04

» Arm!n

جمعه، ۲۶ خرداد ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۰:۲۸
سلام
ممنون عالی بود...

» عسل

سه‌شنبه، ۳۰ خرداد ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۱:۱۸
سلام،مرسی خیلی خوب بود01

» ms ghozat

دوشنبه، ۶ آذر ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۸:۴۷
برنامه به زبان پاسکال برای جابجایی 13 مهره برج هانوی18

» ms ghozat

دوشنبه، ۶ آذر ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۸:۴۷
برنامه به زبان پاسکال برای جابجایی 13 مهره برج هانوی18

» یه غریبه‌ی دوست داشتنی

پنجشنبه، ۵ بهمن ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۲:۰۰
واقعا عالیه
استاد ما باید بیاد از شما یاد بگیره
چقدر سهل و روشن توضیح دادید
دستتون رو باید بوسید

» مریم

پنجشنبه، ۲۶ بهمن ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۹:۴۸
مرثی08

» امیر

شنبه، ۱۹ اسفند ماه ۱۳۹۱، ساعت ۲۱:۵۷
12
خیلی خوب بود

» راضیه

چهارشنبه، ۱ خرداد ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۱:۵۱
سلام. ممنون از راهنماییهای خوبتون. میخواستم بپرسم شما میتونید الگوریتم بازگشتی هانوی رو به صورتهای زیر تغییر بدین و با شبه کد اینجا بذارید؟؟؟؟ من خیلی بهش احتیاج دارم. شنبه هم امتحان پایان ترم دارم. اگه این لطف رو کنید ممنون میشم
1- الگوریتم برج هانوی رو طوری تغییر بدید که از هر دیسک 2عدد موجود باشد (راهنمایی: یعنی در برج c 2تادیسک n روی هم، بعد 2تا دیسک n-1 و همینطور تا دوتا دیسک 1 روی هم باشند.

2- الگوریتم برج هانوی را طوری تغییر بدید که از هر دیسک به تعداد شماره آن موجود باشد. ( یعنی njh از دیسک شماره n روی هم باشن بعدش n-1jh از دیسک شماره n-1 روی هم باشن تا الی آخر که 2تا از دیسک 2 و یکی از دیسک 1 باشد)

3- روی برج A از 1 تا n دیسک زوج داریم و روی برج B همین تعداد دیسک فرد داریم. الگوریتم برج هانوی را طوری تغییر بدید که در برج C جفت جفت دیسکها روی هم قرار بگیرند. ( مثلا دوتا nها روی هم، بعد دوتا n-1ها و الی آخر)

پیشاپیش از لطفتون ممنون

» محمدرضا

چهارشنبه، ۲۵ دی ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۴:۳۰
من 15 سالمه معلمه فیزیکمون خواسته در مورد الگوریتمش تحقیق کنیم و درباش بفهمیم ولی مطالبش اانقدررررر سنگیننههه ک من هیچی درک نمیکنم اصن نمیدونم n-1  یعنی چی(t) یعنی چی ولی ممنون از ااینکه گذاشتید ولی کاش مطالبش سبک تر بود که ما هم یه چیزی بفهمیم08

» رویا

شنبه، ۲۴ بهمن ماه ۱۳۹۴، ساعت ۱۲:۱۹
سلام
مطالبتون خیلی خوب بود
سپااااااس فراوان06

» مهسا

شنبه، ۲۴ مهر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۲۱:۱۱
سلام ممنون عالی بود

» marjan

پنجشنبه، ۱ تیر ماه ۱۳۹۶، ساعت ۱۷:۱۰
میتونید الگوریتم هانوی رو طوری بنویسید که فقط بشه با میله ی مجاورش جابجایی داشته باشه؟؟