مسئله‌های الگوریتمی

برخی از نقاط روستای برره در حمله دشمن فرضی آتش گرفته‌اند! این آتش رفته رفته گسترش پیدا کرده و به نقاط دیگر نیز سرایت می‌کند. خرزو خان که تنها بازمانده روستا در نبرد با دشمن فرضی است، تلاش می‌کند خود را برای نجات به تنها هلیکوپتر روستا برساند.

روستا را به صورت شبکه‌ای با ابعاد $ n \times m $ در نظر بگیرد که برخی خانه‌های آن در آغاز آتش گرفته‌اند و اگر خانه‌ای در زمان $x$ آتش گرفته باشد، هشت خانه مجاور آن در زمان $ x + k$ آتش خواهند گرفت و هرگز خاموش نمی‌شوند. حال اگر خرزو خان در نقطه $s$ شبکه باشد، می‌تواند در هر ثانیه به یکی از چهار خانه مجاور بالا، پایین، راست یا چپ خود برود و تلاش کند به نقطه $t$ که هلیکوپتر در آن قرار دارد برسد.

دنباله‌ای از $n$ عدد صحیح را Jolly Jumper گویند هر گاه قدر مطلق اختلاف عناصر متوالی آن، همه اعداد 1 تا $n-1$ را تولید کند. برای مثال دنباله

1  4  2  3

Jolly Jumper است. چرا که قدرمطلق اختلاف عناصر متوالی آن 3، 2 و 1 است. همچنین هر دنباله با تنها یک جمله، Jolly Jumper محسوب می‌شود. شما باید برنامه‌ای بنویسید که مشخص کند آیا یک دنباله Jolly Jumper است یا نه؟

مستندات دوره «Introduction to Programming Contests» دانشگاه استنفورد با تدریس Jaehyun Park (مربی تیم‌های ACM-ICPC این دانشگاه) شامل اسلایدها، سوالات برگزیده برای تمرین در موضوعات مختلف ریاضیات، ساختمان داده‌ها و الگوریتم‌ها به همراه نکات برنامه‌نویسی از پیوند زیر قابل مشاهده و دریافت هستند:

گروهی از دانشجویان عضو کلوپی هستند که هر سال سفر به یک منطقه را در برنامه‌های خود دارد. ایندیاناپلیس، فینیکس، نَشویل، فیلادلفیا، سن خوزه و آتلانتا از جمله مناطقی هستند که در گذشته سفر انجام شده و این بهار نیز نوبت سفر به آیندهوون است.

این گروه دانشجویی توافق کرده‌اند که سهم هر کدام از نفرات در مخارج سفر با دیگر اعضا یکی باشد. برای رسیدن به این هدف، عملا امکان تقسیم خرج بین نفرات در هر هزینه وجود ندارد. به همین دلیل هر کدام از نفرات هزینه‌های مختلف از قبیل وعده‌های غذایی، اقامت و ایاب و ذهاب را پرداخت می‌کنند و پس از اتمام سفر، مجموع کل هزینه‌ها محاسبه شده و پول بین نفرات به قسمی رد و بدل می‌شود که همه به یک میزان در خرج مشارکت داشته باشند یا حداکثر یک سنت اختلاف وجود داشته باشد.

الگوریتمی را در نظر بگیرید که با دریافت یک عدد $n$، دنباله‌ای از اعداد را تولید می‌کند. به این ترتیب که اگر $n$ زوج بود، تقسیم آن بر عدد 2 و اگر فرد بود، $ 3n + 1 $ را به عنوان جمله بعدی دنباله و مقدار جدید برای $n$ تولید کرده و عملیات را تا زمانی که مقدار $n$ برابر 1 شود، ادامه دهد. برای مثال، دنباله زیر با شروع از $ n = 22 $ تولید می‌شود:

اعضای کمیته علمی ACM‌ امسال از ایمیل برای بحث در مورد سوالات استفاده می‌کنند. آنها می‌دانند که ایمیل ابزار امنی برای ارتباط در مورد چنین موضوعات حساسی نیست. بنابراین فایل‌های فشرده رمزگذاری شده را تبادل می‌کنند. برای تبادل کلمه عبور فایل نیز از SMS رمز شده با ساختار تایپ multi-tap استفاده می‌کنند.

کف اتاق خواب غلام با کاشی‌های سفید و زرد پوشیده شده است. گاهی که حوصله ندارد، روی یکی از کاشی‌ها می‌ایستد و در آن ردیف از کاشی‌ها قدم می‌زند. او ابتدا عدد $n$ را انتخاب می‌کند و تنها $n$ قدم حرکت می‌کند. اگر در حین حرکت به دیوار برسد، چرخیده و در جهت خلاف به حرکت خود ادامه می‌دهد. توجه داشته باشید که خود عمل چرخش گام حساب نمی‌شود. در حین قدم زدن (یک کاشی در هر قدم) او تعداد دفعاتی که پا روی کاشی زرد گذاشته را می‌شمارد.

می‌دانیم که جایگاه رقم در یک عدد، وزن آن را در مقدار عدد مشخص می‌کند. برای مثال، عدد 362 در مبنای 10 از رقم 2‌ با وزن $10^0$، رقم 6 با وزن $10^1$ و رقم 3 با وزن $10^2$ به صورت $ 3 \times 10 ^ 2 + 6 \times 10 ^ 1 + 2 \times 10 ^ 0 $ یا $ 300 + 60 + 2 $ تشکیل شده است. چنین ساختاری برای نمایش اعداد در سایر مبناها نیز وجود دارد.

سوال Free Ticket مشخصات ارتباطی چند شهر را به عنوان ورودی داده و مقدار هزینه‌ای را می‌خواهد که در بدترین حالت برای سفر بین دو شهر نیاز است. پس اول باید کمترین هزینه سفر بین هر دو شهر ورودی را حساب و سپس بیشترین مقدار بین این کمترین‌ها را به عنوان خروجی چاپ کنیم.

جناب خان که با کسب و کار لبوی خود میلیاردر شده است، می‌خواهد رئیس جمهور شود! در کشور او که از چندین ایالت تشکیل شده است، از روشی با عنوان هیئت انتخاب (یا هیئت الکترال) برای انتخاب رئیس جمهور استفاده می‌شود. در چنین ساختاری شمارش رأی در هر ایالت به صورت مستقل انجام می‌شود و هر ایالت متناسب با جمعیت خود تعدادی نماینده در هیئت انتخاب کنندگان رئیس جمهور دارد. تمام نمایندگان یک ایالت در نهایت به نامزدی رأی می‌دهند که در آن ایالت اکثریت آرا را کسب کرده باشد. اگر نامزدها رأی برابر داشته باشند، هر ایالت قوانین خاص خود برای انتخاب نهایی را دارد. در نهایت رئیس جمهور کسی است که بیش از نصف مجموع رأی‌های هیئت انتخاب را از آن خود کند.

پل اردوش (اردیش - Paul Erdős) ریاضیدان مشهور و برجسته قرن بیستم است که تا پایان عمر خود تلاش گسترده‌ای برای انتشار مقالات علمی داشت و همکاری با وی در انتشار مقاله یک افتخار بزرگ برای هر ریاضیدان محسوب می‌گردد.

زمانی که ورودی مسأله از نوع عددی است لزومی ندارد داخل متغیر عددی ذخیره کنیم. گاهی ممکن ذخیره آن به صورت رشته بهتر باشد. مثلا برای مسأله LC-Display باید عدد را از چپ به راست و رقم به رقم پردازش کنیم. پس چه بهتر که به صورت رشته یا آرایه‌ای از کاراکترها ذخیره شود.

$n$ بشکه آب با تعدادی لوله به هم وصل شده‌اند. هر بشکه استوانه‌ای عمودی با سطح مقطع یک متر مربع و ارتفاع نامحدود است که با عدد یکتا بین 1 تا $n$ شماره‌گذاری شده است. $i$-امین لوله بشکه $ x_i $ و $y_i$ را به هم متصل می‌کند. یک سر این لوله در ارتفاع $h_i$ متر به بشکه $ x_i $ متصل است و سر دیگر آن در همان ارتفاع به بشکه $y_i$ متصل است. در زمان صفر بشکه‌ها خالی هستند و یک جریان آب به صورت پیوسته با سرعت یک متر مکعب بر ساعت در بشکه شماره یک می‌ریزد. اگر آب بشکه‌ای به ارتفاع لوله‌ای برسد، آب در لوله جریان پیدا می‌کند و می‌تواند وارد بشکه دیگر شود. فرض کنید قطر لوله‌ها ناچیز است و سرعت آب در لوله‌ها بسیار زیاد است.

جدولی با n سطر و m ستون در نظر بگیرید. در تمام خانه‌های این جدول عدد 0‌ نوشته شده است. در ابتدای کار حامد در خانه‌ای از جدول ایستاده است. او عدد این خانه را پاک می‌کند و عدد 1 را به جای آن می‌نویسد. حامد شروع به حرکت می‌کند و در هر ثانیه یک خانه به بالا، راست، پایین یا چپ می‌رود. او با وارد شدن به هر خانه، عدد نوشته شده در خانه را پاک می‌کند و عددی یک واحد بزرگتر از آخرین عددی که نوشته است را می‌نویسد و بعد از مدتی متوقف می‌شود. می‌دانیم حامد در انتهای حرکت خود تمام خانه‌های جدول را دیده است.

ساختمان جدید دپارتمان مهندسی کامپیوتر تنها شامل آسانسور بوده و پله ندارد. برای دسترسی سریع و مناسب به اتاق‌ها و کلاس‌های طبقات مختلف، آسانسورها به گونه‌ای تنظیم شده‌اند که تنها در طبقات مشخصی توقف داشته باشند؛ مثلا تعدادی تنها در طبقات زوج و تعدادی دیگر تنها در طبقات فرد. دکمه‌های داخل آسانسور و کنار ورودی آسانسور نیز تنها برای همین طبقات از پیش مشخص شده فعال هستند.

یکی از سوالات رایج علاقه‌مندان شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی معتبر همچون ACM این است که چگونه خود را برای این مسابقات آماده کنیم؟ تا چه حد تسلط به یک زبان برنامه‌نویسی یا مفاهیم مختلف طراحی الگوریتم و شاخه‌های وابسته مورد نیاز است؟

کتاب Art of Programming Contest به عنوان یک کتاب اختصاصی آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی با بررسی مباحث بسیار مفید در مورد مفاهیم و اصول مورد نیاز برای شرکت موفق در چنین مسابقاتی، به چنین سوالاتی پاسخ داده است. این کتاب با بحث در مورد شیوه‌های برنامه‌نویسی مطلوب با زبان برنامه‌نویسی C و استفاده موثر از مفاهیم مختلف طراحی الگوریتم‌ها و ساختمان داده‌ها، نه تنها برای شرکت‌کنندگان مسابقات که برای هر علاقه‌مند به حل مسائل چالش‌برانگیز الگوریتمی مناسب و مفید است.

دو دوست در زمین نامحدودی متشکل از حصارهای دایره‌ای شکل هم‌اندازه با ساختار زیر قرار دارند. یکی از دوستان قصد دارد با حرکت در این ساختار نزد دوست دیگر خود برود. حرکت در این ساختار در هر گام شامل جابجایی به یکی از دایره‌های مجاور است. دو دایره مجاور هستند اگر در یک نقطه مشترک باشند.

ماتریس مربعی با ابعاد $N$ در $N$ و درایه‌هایی از اعداد صحیح موجود است. منظور از زیرماتریس بیشینه، زیرماتریسی از ماتریس مفروض است که مجموع عناصر آن بزرگتر یا مساوی مجموع عناصر هر زیرماتریس دیگر آن است.

به عنوان مثال، برای ماتریس زیر:

معمای هشت وزیر از جمله مسائل کلاسیک مباحث طراحی الگوریتم است که در حالت کلی‌تر با عنوان معمای n وزیر یا معمای چند وزیر مطرح می‌شود.

برای افرادی که با بازی شطرنج آشنایی ندارند

وزیر مهره‌ای از مهره‌های بازی شطرنج است که می‌تواند در تمامی هشت جهت به هر تعداد خانه - تا زمانی که مهره‌ای مانع نباشد - حرکت کند. اگر در این مسیرها مهره‌ای از حریف قرار گرفته باشد، آن مهره در معرض خطر حمله توسط وزیر قرار دارد؛ یا به اصطلاح وزیر آن مهره را تهدید می‌کند.

یک چراغ راهنمایی در مسیر گردش از بزرگراه به یک مرکز فروش بزرگ تعبیه شده است. عملکرد این چراغ به گونه‌ای است که در هر دقیقه حداکثر k خودرو امکان گردش از بزرگراه به سمت مسیر مرکز را دارند. در پایان هفته شهروندان بیشتری برای خرید به این مرکز مراجعه می‌کنند که باعث بالا رفتن حجم ترافیک می‌شود. مدیران مرکز سفارش نصب دوربین ویژه‌ای در نزدیکی آن محل را داده‌اند که امکان شمارش تعداد خودروهای وارد شده از سمت شهر به محل گردش به مرکز فروش را دارد.

تابع بازگشتی (F(n با تعریف زیر مفروض است:

\[ F(n)= \left\{\begin{matrix} n \% 10 & & & if \; (n\%10) > 0\\ 0 & & & if \; n = 0 \\ F(n/10) & & & Otherwise \end{matrix}\right. \]

یکی از تیم‌های لیگ برتر فوتبال (جام خلیج فارس) امسال نتایج خیلی بدی گرفته است. هیئت مدیره باشگاه برای اخراج مربی تحت فشار هستند. اما این مربی از سوی طرفداران تیم به عنوان یک قهرمان محبوب حمایت می‌شود. به همین دلیل تصمیم می‌گیرند یک فرصت دیگر به مربی بدهند. سخنگوی باشگاه به رسانه‌ها اعلام می‌کند که هیئت مدیره باشگاه تنها زمانی از مربی حمایت می‌کنند که بتواند در 5 بازی آینده 11 امتیاز برای تیمشان کسب کند.

علاقه‌مندان به مباحث مختلف طراحی الگوریتم و همینطور شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی به خوبی می‌دانند که یکی از مهمترین پارامترهای طراحی موفقیت‌آمیز یک الگوریتم، شیوه صحیح فکر کردن روی حل مسئله است. حل انواع سوالات الگوریتمی به ما کمک می‌کند ذهن خودمان را برای حل مسائل پیچیده‌تر آماده کنیم. مسئله برج هانوی (Tower of Hanoi) یکی از مسائل تاریخی مشهور است که در مباحث طراحی الگوریتم نیز به آن پرداخته می‌شود.

یکی از مسائل جالب طراحی الگوریتم مسئله کاشیکاری یا فرش کردن زمین با موزاییک‌ است. فرض کنید قطعه زمین مربعی شکل با ابعادی از توان عدد دو داریم. هدف فرش کردن این قطعه زمین با استفاده از موزاییک‌هایی با شکل L است به قسمی که یکی از خانه‌های زمین شطرنجی شده فوق پوشیده نشود. می‌توان فرض کرد از این خانه برای احداث باغچه یا حوضچه کوچکی استفاده خواهد شد. در ضمن حق شکستن این موزاییک‌ها به تکه‌های کوچکتر را نداریم.