مسئله‌ی حداکثر مجموع

[برو به فهرست نوشته‌ها]
        بررسی مسئله‌ی حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی

مسئله

    ماتریس مربعی با ابعاد $N$ در $N$ و درایه‌هایی از اعداد صحیح موجود است. منظور از زیرماتریس بیشینه، زیرماتریسی از ماتریس مفروض است که مجموع عناصر آن بزرگتر یا مساوی مجموع عناصر هر زیرماتریس دیگر آن است.

    به عنوان مثال، برای ماتریس زیر:

ادامه ...

محاسبه‌ی دترمینان ماتریس

[برو به فهرست نوشته‌ها]
        بررسی روش‌های بسط لاپلاس، گاوس، فرمول تحویل و ساروس، برای محاسبه‌ی دترمینان ماتریس مربعی و پيچيدگي زمانی آنها

دترمینان ماتریس مربعی - که به صورت $ \vert A \vert $ یا $ det( A ) $ نمایش داده می‌شود - یکی از مفاهیم مشهور جبر خطی است که کاربردهای بسیاری در علوم مختلف دارد. امکان محاسبه‌ی سریع دترمینان یک ماتریس با ابعاد بزرگ بحث مهمی است که در ادامه سه روش محاسباتی رایج و پيچيدگي زمانی آنها مرور خواهند شد.

    طبق تعریف دترمینان اگر اندازه‌ی ابعاد ماتریس مربعی یک باشد ($n = 1$)، دترمینان همان مقدار تک‌عضو آن است. یعنی:

ادامه ...

ضرب استراسن

[برو به فهرست نوشته‌ها]
        آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه‌‌ی حاصلضرب ماتریس‌ها

همه‌ی ما با تعریف ضرب ماتریس‌های مربعی آشنایی داریم. حاصلضرب ماتریس‌های مربعی A و B به صورت زیر تعریف می‌شود:

      

\[ A=(a_{ij})_{n \times n} = \qquad , \qquad B=(b_{ij})_{n \times n} \] \[ C = A \times B = (c_{ij})_{n \times n} \qquad ; \qquad c_{ij}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \; b{kj} \]

      

    به عنوان مثال در حالت $n = 2$ داریم:

      

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \]

ادامه ...

ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها

[برو به فهرست نوشته‌ها]
        بحث در مورد ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و روش پیاده‌سازی الگوریتم پرانتزبندی بهینه‌ی آن با روش تقسیم و حل و روش برنامه‌نویسی پویا

مسئله‌ی ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و پرانتزبندی بهینه‌ی آن یکی از مثال‌های مشهور کاربرد برنامه‌نویسی پویا در حل مسائل بهینه‌سازی است.

    فرض کنید قصد داریم حاصلضرب عبارت ماتریسی $ A_{3 \times 7} \times B_{7 \times 8 } \times C_{8 \times 4} $ را محاسبه کنیم. می‌دانیم که ضرب ماتریس‌ها خاصیت شرکت‌پذیری داشته، اما خاصیت جابجایی ندارد. بنابراین رعایت ترتیب ضرب آنها مهم است. پرانتزبندی‌های مختلف ضرب ماتریس‌ها حالت‌های مختلف محاسبه آن را به ما می‌دهند:

      

\[1: A \times (B \times C) \]

\[2: (A \times B) \times C \]

      

    در حالت اول ابتدا B در C ضرب شده و سپس حاصل آنها در A ضرب می‌شود؛ و در حالت دوم ابتدا A و B در هم ضرب شده و سپس نتیجه در C ضرب می‌شود. حال سوال این است که آیا این پرانتزبندی‌ها تفاوتی با هم دارند؟

ادامه ...