تکنیک‌های طراحی الگوریتم

ویراست سوم کتاب برنامه‌نویسی رقابتی با نام کامل Competitive Programming 3: The New Lower Bound of Programming Contests با تلاش Steven Halim و Felix Halim از مربیان تیم‌های برنامه‌نویسی ACM-ICPC سنگاپور تالیف و  در سال ۲۰۱۳ منتشر شده است که امروزه به عنوان یکی از منابع مناسب برای آمادگی تیم‌های شرکت‌کننده در مسابقات برنامه‌نویسی الگوریتمی بویژه مسابقات برنامه‌نویسی ACM-ICPC توصیه می‌شود.

این کتاب شامل نکات تکنیکی برنامه‌نویسی در مسابقات ACM-ICPC و همینطور معرفی ساختمان داده‌ها و الگوریتم‌های پر کاربرد در ۹ فصل با جزئیات زیر است.

1 Introduction

    1.1 Competitive Programming

ویدئوهای جلسات آموزشی طراحی و تحلیل الگوریتم پروفسور Tim Roughgarden دانشگاه استنفورد از طریق پیوندهای زیر قابل مشاهده است. در این دوره هر الگوریتم یا ساختمان داده‌ی بحث شده، همراه با  تحلیل، مثال‌های کاربردی یا جایگاه مورد نیاز آنها است.

جلسه‌ی اول

۱- چرا مطالعه‌ی الگوریتم؟

۲- ضرب اعداد صحیح

۳- الگوریتم ضرب Karatsuba

۴- درباره‌ی دوره

کتاب Introduction to Algorithms: A Creative Approach را می‌توان مکملی بر استفاده از کتاب Introduction to Algorithms (مشهور به کتاب CLRS) دانست. در این کتاب علاوه بر معرفی تکنیک‌های مختلف طراحی الگوریتم‌ها و روش‌های حل برخی مسائل الگوریتمی، روش‌های تحلیل و حل آنها با جزئیات بیشتر و به صورت گام به گام بررسی شده است. به همین دلیل نیز از جمله منابع اصلی پیشنهادی به متقاضیان شرکت در المپیادهای کامپیوتر و مسابقات برنامه‌نویسی برای یادگیری طراحی و تحلیل الگوریتم‌ها است.

کتاب Introduction to Algorithms (مشهور به کتاب CLRS) از انتشارات MIT اثر Thomas H. Cormen، Charles E. Leiserson، Ronald L. Rivest و Clifford Stein کتاب جامع مباحث الگوریتم‌ها و ساختمان داده‌ها است که منبع درسی بسیاری از دانشگاه‌های معتبر بوده و تا کنون بیش از سی هزار مقاله و کتاب با ارجاع به آن نگارش یافته است. مطالب این کتاب از مباحث اولیه مانند مفهوم تحلیل و طراحی الگوریتم آغاز شده و مباحث پیشرفته‌ی طراحی الگوریتم‌ها و ساختمان داده‌ها را نیز پوشش می‌دهد. به همین دلیل مطالعه و استفاده از آن به عنوان مرجع برای کلیه‌ی علاقمندان مباحث طراحی الگوریتم‌ها، ساختمان داده‌ها و همینطور شرکت‌کنندگان المپیادهای کامپیوتری و مسابقات برنامه‌نویسی توصیه می‌شود.

کتاب Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual از انتشارات معتبر Springer کتاب مفیدی برای آمادگی شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی است که نویسندگان آن به صورت گام به گام، خلاصه و مفید، به مفاهیم و نکات مهم برنامه‌نویسی، ساختمان داده‌ها، محاسبات ریاضی و طراحی الگوریتم‌ها اشاره داشته و با طرح مسائل متفاوت از هر موضوع، خواننده را به چالش حل مسئله کشیده‌اند.

در این کتاب برای هر موضوع مورد بحث تعدادی سوال از وب‌سایت UVA انتخاب و مطرح شده است. به این ترتیب خواننده علاوه بر آشنایی با مفاهیم مختلف، با نحوه‌ی طراحی سوال از آن موضوع نیز مواجه می‌شود. نویسندگان کتاب در مقدمه به این نکته اشاره داشته‌اند که در انتخاب سوال‌ها علاوه بر مرتبط بودن موضوع، جنبه‌ی سرگرمی و جذابیت نیز تا حد ممکن رعایت شده است: «گاهی موضوعات جذاب علم کامپیوتر و ریاضیات در قالب داستان‌های سرگرم کننده بیان شده است. این مسئله مطالعه‌ی موارد جذاب دیگری را پیش می‌آورد.»

روش حریصانه (Greedy) یکی از روش‌های مشهور و پرکاربرد طراحی الگوریتم‌ها است که با ساختاری ساده در حل بسیاری از مسائل استفاده می‌شود. این روش اغلب در حل مسائل بهینه‌سازی استفاده شده و در پاره‌ای مواقع جایگزین مناسبی برای روش‌هایی مانند برنامه‌ریزی پویا است. در حالت کلی این روش سرعت و مرتبه‌ی اجرایی بهتری نسبت به روش‌های مشابه خود دارد؛ اما متناسب با مسئله ممکن است به یک جواب بهینه‌ی سراسری ختم نشود.

در روش حریصانه رسیدن به هدف در هر گام مستقل از گام قبلی و بعدی است. یعنی در هر مرحله برای رسیدن به هدف نهایی، مستقل از این که در مراحل قبلی چه انتخاب‌هایی صورت گرفته و انتخاب فعلی ممکن است چه انتخاب‌هایی در پی داشته باشد، انتخابی که در ظاهر بهترین انتخاب ممکن است صورت می‌پذیرد. به همین دلیل است که به این روش، روش حریصانه گفته می‌شود. زمانی که یک دزد عجول و حریص وارد خانه‌ای می‌شود، در مسیر حرکت خود هر وسیله و کالای با ارزشی را داخل کیسه می‌اندازد. وی در این حالت چندان توجهی نمی‌کند که چه اشیائی را قبلا برداشته و ممکن است در آینده چه اشیاء گرانبهاتری به دست آورد. او در هر گام تنها از بین اشیاء دم دست خود با ارزش‌ترین آن را انتخاب کرده و به وسایل قبلی اضافه می‌کند.

وب‌سایت UVa یکی از وب‌سایت‌هایی است که امکانات مفیدی را برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی (بالاخص ACM) مهیا کرده است. در این وب‌سایت مجموعه سوالاتی در سطوح مختلف و مشابه سوالات مسابقات برنامه‌نویسی بین‌المللی در دسترس عموم قرار گرفته است که علاقه‌مندان می‌توانند پس از عضویت در سایت، پاسخ هر سوالی را که حل کرده‌اند، ارسال کنند. این جواب‌ها بررسی شده و درست یا نادرست بودن آن به کاربر ابلاغ می‌شود. می‌توان گفت نوعی شبیه‌سازی مسابقات برنامه‌نویسی رسمی انجام می‌گیرد.

یکی از شرکت‌کنندگان مسابقات ACM به نام احمد شمس العارفین (Ahmed Shamsul Arefin) از کشور بنگلادش - که فعالیت‌های گسترده‌ی دیگری مانند وب‌سایت www.acmsolver.org نیز دارد - اقدام به انتشار کتاب رایگانی در مورد آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی از طریق همین وب‌سایت نموده است.

یکی از روش‌های پرکاربرد و مشهور طراحی الگوریتم روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا، برنامه‌سازی پویا - Dynamic Programming) است. این روش همچون روش تقسیم و حل (Divide and Conquer) بر پایه‌ی تقسیم مسئله بر زیرمسئله‌ها کار می‌کند. اما تفاوت‌های چشم‌گیری با آن دارد.

زمانی که یک مسئله به دو یا چند زیرمسئله تقسیم می‌شود، دو حالت ممکن است پیش بیاید:

1- داده‌های زیرمسئله‌ها هیچ اشتراکی با هم نداشته و کاملا مستقل از هم هستند. نمونه‌ی چنین مواردی مرتب‌سازی آرایه‌ها با روش ادغام یا روش سریع است که داده‌ها به دو قسمت تقسیم شده و به صورت مجزا مرتب می‌شوند. در این حالت داده‌های یکی از بخش‌ها هیچ ارتباطی با داده‌های بخش دیگر نداشته و در نتیجه حاصل از آن بخش اثری ندارند. معمولا روش تقسیم و حل برای چنین مسائلی کارآیی خوبی دارد.

یکی از روش‌های پرکاربرد و محبوب برای طراحی الگوریتم‌ها روش Divide and Conquer است که در زبان فارسی به صورت تقسیم و حل یا تقسیم و غلبه ترجمه شده است.

در این روش، داده‌ها به دو یا چند دسته تقسیم شده و حل می‌شوند. سپس با ترکیب مناسب نتایج به دست آمده از این زیرمسئله‌ها، مسئله‌ی اصلی حل می‌شود. در صورتی که زیرمسئله خود به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد، می‌توان از همین روش برای حل آن استفاده کرد. تقسیمات متوالی زیرمسئله‌ها تا جایی ادامه پیدا می‌کند که به اندازه‌ی کافی کوچک شده باشند و بتوان آنها را با روش‌های دیگر به راحتی حل نمود.

برای آشنایی بیشتر، چند الگوریتم که با روش حل و تقسیم پیاده‌سازی شده‌اند معرفی می‌شوند.

مرتب‌سازی سریع (Quick Sort)

در روش مرتب‌سازی سریع داده‌های ورودی را بر حسب یکی از عناصر به نام محور به دو قسمت نه لزوما هم‌اندازه تقسیم کرده و هر کدام را جداگانه مرتب می‌کنیم.