الگوریتم‌های تقسیم و غلبه

منظور از ریشه‌ها یک تابع مقادیری برای متغیرهای ورودی آن هستند که به ازای آنها خروجی تابع صفر شود. به عنوان مثال خروجی تابع $f(x)=2x-4$ به ازای $x=2$ صفر یا مقدار $2$ ریشه معادله $2x-4=0$ است. به همین ترتیب در مورد معادلات درجه دوم نیز می‌دانیم چطور می‌توانیم به ریشه یا ریشه‌ها در صورت موجود بودن دست پیدا کنیم. البته لزومی ندارد پاسخ معادله یک عدد صحیح یا گویای متناهی باشد. به عنوان مثل جواب معادله‌های $x^2 - 2 = 0$ و $sin(\frac{x}{2}) = 1$ به ترتیب اعداد گنگ $\sqrt{2}$ و $\pi$ هستند که در عمل امکان ذخیره‌سازی تک تک ارقام اعشاری در کامپیوتر وجود ندارد.

بسیاری از فرآیندهای طبیعی از جمله ترکیب ساختار بدن موجودات زنده نظم مشخصی دارند و از دنباله اعدادی تبعیت می‌کنند که امروزه با نام دنباله اعداد فیبوناچی (فیبوناتچی - Fibonacci) شناخته می‌شود. مشهورترین خاصیت این اعداد نسبت دو جمله متوالی آنها به ازای جملات بزرگ دنباله است که به عدد طلایی مشهور است.

روش مرتب‌سازی ادغامی (Merge Sort) یک روش مرتب‌سازی مبتنی بر مقایسه عناصر با استفاده از روش تقسیم و غلبه است. این روش از مراحل بازگشتی زیر تشکیل یافته است:

1- آرایه را به دو زیرآرایه با اندازه تقریبا یکسان تقسیم کن.

روش مرتب‌سازی سریع (Quick Sort) یکی از الگوریتم‌های مشهور مرتب‌سازی داده‌ها است. این الگوریتم طی مراحل بازگشتی زیر یک روش تقسیم و غلبه برای مرتب کردن داده‌ها ارائه می‌نماید:

1- انتخاب عنصر محوری: یکی از عناصر آرایه به عنوان عنصر محوری (pivot) - به عنوان مثال عنصر اول - انتخاب می‌شود.

دنباله اعداد کاتالان (Catalan Numbers) یکی از دنباله‌های عددی مشهور ریاضیات است که برای عدد نامنفی n به صورت $C_n$ نمایش داده می‌شود.

$C_n:\qquad 1,\;1,\;2,\;5,\;14,\;42,\;132,\;429,\;1430,\;4862,\;16796,\;\cdots$

تعریف ترکیب (Combination)

تعداد حالت‌های انتخاب r (عدد صحیح و نامنفی) شیء از n (عدد صحیح و بزرگتر یا مساوی r) شیء را که ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد، انتخاب r از n یا ترکیب r روی n گویند و به یکی از صورت‌های زیر نمایش می‌دهند:

دترمینان ماتریس مربعی - که به صورت $ \vert A \vert $ یا $ det( A ) $ نمایش داده می‌شود - یکی از مفاهیم مشهور جبر خطی است که کاربردهای بسیاری در علوم مختلف دارد. امکان محاسبه سریع دترمینان یک ماتریس با ابعاد بزرگ بحث مهمی است که در ادامه سه روش محاسباتی رایج و پیچیدگی زمانی آنها مرور خواهند شد.

علاقه‌مندان به مباحث مختلف طراحی الگوریتم و همینطور شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی به خوبی می‌دانند که یکی از مهمترین پارامترهای طراحی موفقیت‌آمیز یک الگوریتم، شیوه صحیح فکر کردن روی حل مسئله است. حل انواع سوالات الگوریتمی به ما کمک می‌کند ذهن خودمان را برای حل مسائل پیچیده‌تر آماده کنیم. مسئله برج هانوی (Tower of Hanoi) یکی از مسائل تاریخی مشهور است که در مباحث طراحی الگوریتم نیز به آن پرداخته می‌شود.

یکی از مسائل جالب طراحی الگوریتم مسئله کاشیکاری یا فرش کردن زمین با موزاییک‌ است. فرض کنید قطعه زمین مربعی شکل با ابعادی از توان عدد دو داریم. هدف فرش کردن این قطعه زمین با استفاده از موزاییک‌هایی با شکل L است به قسمی که یکی از خانه‌های زمین شطرنجی شده فوق پوشیده نشود. می‌توان فرض کرد از این خانه برای احداث باغچه یا حوضچه کوچکی استفاده خواهد شد. در ضمن حق شکستن این موزاییک‌ها به تکه‌های کوچکتر را نداریم.

درخت دودویی (Binary Tree)

درختی است که هر گره آن دارای حداکثر دو گره فرزند است که به آنها فرزند راست و چپ گره گفته می‌شود. به همین ترتیب زیردرختی که فرزند راست در رأس آن قرار دارد زیردرخت راست و زیردرختی که فرزند چپ در رأس آن قرار دارد زیردرخت چپ گره نامیده می‌شوند.

همه ما با تعریف ضرب ماتریس‌های مربعی آشنایی داریم. حاصلضرب ماتریس‌های مربعی A و B به صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ A=(a_{ij})_{n \times n} \qquad , \qquad B=(b_{ij})_{n \times n} \] \[ C = A \times B = (c_{ij})_{n \times n} \qquad ; \qquad c_{ij}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \; b{kj} \]

مسئله ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و پرانتزبندی بهینه آن یکی از مثال‌های مشهور کاربرد برنامه‌نویسی پویا در حل مسائل بهینه‌سازی است.

فرض کنید قصد داریم حاصلضرب عبارت ماتریسی $ A_{3 \times 7} \times B_{7 \times 8 } \times C_{8 \times 4} $ را محاسبه کنیم. می‌دانیم که ضرب ماتریس‌ها خاصیت شرکت‌پذیری داشته، اما خاصیت جابجایی ندارد. بنابراین رعایت ترتیب ضرب آنها مهم است. پرانتزبندی‌های مختلف ضرب ماتریس‌ها حالت‌های مختلف محاسبه آن را به ما می‌دهند:

یکی از روش‌های پرکاربرد و محبوب برای طراحی الگوریتم‌ها روش Divide and Conquer است که در زبان فارسی به صورت الگوریتم‌های تقسیم و حل یا تقسیم و غلبه ترجمه شده است.

در این روش، داده‌ها به دو یا چند دسته تقسیم شده و حل می‌شوند. سپس با ترکیب مناسب نتایج به دست آمده از این زیرمسئله‌ها، مسئله اصلی حل می‌شود. در صورتی که زیرمسئله خود به اندازه کافی بزرگ باشد، می‌توان از همین روش برای حل آن استفاده کرد. تقسیمات متوالی زیرمسئله‌ها تا جایی ادامه پیدا می‌کند که به اندازه کافی کوچک شده باشند و بتوان آنها را با روش‌های دیگر به راحتی حل نمود.