جستجوی اول سطح

مسئله

پل اردوش (اردیش - Paul Erdős) ریاضیدان مشهور و برجسته‌ی قرن بیستم است که تا پایان عمر خود تلاش گسترده‌ای برای انتشار مقالات علمی داشت و همکاری با وی در انتشار مقاله یک افتخار بزرگ برای هر ریاضیدان محسوب می‌گردد.

با توجه به آنکه همکاری با ایشان برای هر کس ممکن نبود، تلاش می‌کردند با نفراتی در انتشار مقاله‌ی علمی همکاری کنند که با این دانشمند بزرگ مقاله داشتند. این رویکرد باعث پدید آمدن عدد اردوش (Erdős number) یا فاصله‌ی همکاری اردوش شد؛ یعنی برای نویسندگانی که به صورت مستقیم با ایشان همکاری داشتند عدد 1 و برای کسانی که با این نفرات مقاله داشتند عدد 2 نسبت داده شد و ارتباطات دورتر نیز به همین ترتیب با اعداد طبیعی بعدی مشخص شدند.

مسئله

جدولی با n سطر و m ستون در نظر بگیرید. در تمام خانه‌های این جدول عدد 0‌ نوشته شده است. در ابتدای کار حامد در خانه‌ای از جدول ایستاده است. او عدد این خانه را پاک می‌کند و عدد 1 را به جای آن می‌نویسد. حامد شروع به حرکت می‌کند و در هر ثانیه یک خانه به بالا، راست، پایین یا چپ می‌رود. او با وارد شدن به هر خانه، عدد نوشته شده در خانه را پاک می‌کند و عددی یک واحد بزرگتر از آخرین عددی که نوشته است را می‌نویسد و بعد از مدتی متوقف می‌شود. می‌دانیم حامد در انتهای حرکت خود تمام خانه‌های جدول را دیده است.

به شما عکسی از اعداد نوشته شده در جدول داده شده است. آیا حامد اعداد روی جدول را به درستی نوشته است؟

الگوریتم پیمایش اول سطح یا جستجوی اول سطح (Breadth First Search - BFS) از جمله الگوریتم‌های مشهور پیمایش و جستجوی گراف است که در حل مسائل الگوریتمی و هوش مصنوعی کاربرد دارد. این الگوریتم برای پیمایش و جستجوی گراف از یک صف برای نگهداری ترتیب جستجو استفاده می‌کند.

الگوریتم BFS با وارد کردن گره مبدأ به صف پردازش شروع شده و تا خالی نشدن این صف مراحل زیر را تکرار می‌شود:

1- عنصر جلوی صف را به عنوان گره جاری انتخاب و از صف حذف کن.

2- گره جاری را پردازش کن.

3- گره‌های مجاور گره جاری که پردازش نشده و در صف پردازش نیز قرار ندارند به این صف اضافه کن.

الگوریتم دایکسترا (دیکسترا، دایجسترا - Dijkstra) یک راهکار حریصانه برای یافتن کوتاهترین مسیر از مقصد ثابت (تک منبع) به سایر گره‌های گراف وزن‌دار است. این گراف می‌تواند معرف مسیرهای یک شهر و تقاطع‌های آن باشد که انبار شرکت در یک گره آن قرار داشته و هدف یافتن کوتاهترین مسیر به هر محل دیگر از این انبار است. طبیعتا این الگوریتم در یافتن کوتاهترین مسیر بین دو گره مشخص نیز کاربرد دارد. تنها شرط لازم برای استفاده از این الگوریتم نامنفی بودن وزن یال‌های گراف است.

الگوریتم دایکسترا به صورت حریصانه عمل کرده و در تکرارهای متوالی طول کوتاهترین مسیر از مبدأ به یکی از گره‌های گراف را به دست می‌آورد. در این الگوریتم از سه مجموعه استفاده می‌شود: