تمرین طراحی الگوریتم

مسئله

    جناب خان که با کسب و کار لبوی خود میلیاردر شده است، می‌خواهد رئیس جمهور شود! در کشور او که از چندین ایالت تشکیل شده است، از روشی با عنوان هیئت انتخاب (یا هیئت الکترال) برای انتخاب رئیس جمهور استفاده می‌شود. در چنین ساختاری شمارش رأی در هر ایالت به صورت مستقل انجام می‌شود و هر ایالت متناسب با جمعیت خود تعدادی نماینده در هیئت انتخاب کنندگان رئیس جمهور دارد. تمام نمایندگان یک ایالت در نهایت به نامزدی رأی می‌دهند که در آن ایالت اکثریت آرا را کسب کرده باشد. اگر نامزدها رأی برابر داشته باشند، هر ایالت قوانین خاص خود برای انتخاب نهایی را دارد. در نهایت رئیس جمهور کسی است که بیش از نصف مجموع رأی‌های هیئت انتخاب را از آن خود کند.

مسئله

    پل اردوش (اردیش - Paul Erdős) ریاضیدان مشهور و برجسته‌ی قرن بیستم است که تا پایان عمر خود تلاش گسترده‌ای برای انتشار مقالات علمی داشت و همکاری با وی در انتشار مقاله یک افتخار بزرگ برای هر ریاضیدان محسوب می‌گردد.

مسئله

    $n$ بشکه‌ی آب با تعدادی لوله به هم وصل شده‌اند. هر بشکه استوانه‌ای عمودی با سطح مقطع یک متر مربع و ارتفاع نامحدود است که با عدد یکتا بین 1 تا $n$ شماره‌گذاری شده است. $i$-امین لوله بشکه‌ی $ x_i $ و $y_i$ را به هم متصل می‌کند. یک سر این لوله در ارتفاع $h_i$ متر به بشکه‌ی $ x_i $ متصل است و سر دیگر آن در همان ارتفاع به بشکه‌ی $y_i$ متصل است. در زمان صفر بشکه‌ها خالی هستند و یک جریان آب به صورت پیوسته با سرعت یک متر مکعب بر ساعت در بشکه‌ی شماره‌ی یک می‌ریزد. اگر آب بشکه‌ای به ارتفاع لوله‌ای برسد، آب در لوله جریان پیدا می‌کند و می‌تواند وارد بشکه‌ی دیگر شود. فرض کنید قطر لوله‌ها ناچیز است و سرعت آب در لوله‌ها بسیار زیاد است.

مسئله

    جدولی با n سطر و m ستون در نظر بگیرید. در تمام خانه‌های این جدول عدد 0‌ نوشته شده است. در ابتدای کار حامد در خانه‌ای از جدول ایستاده است. او عدد این خانه را پاک می‌کند و عدد 1 را به جای آن می‌نویسد. حامد شروع به حرکت می‌کند و در هر ثانیه یک خانه به بالا، راست، پایین یا چپ می‌رود. او با وارد شدن به هر خانه، عدد نوشته شده در خانه را پاک می‌کند و عددی یک واحد بزرگتر از آخرین عددی که نوشته است را می‌نویسد و بعد از مدتی متوقف می‌شود. می‌دانیم حامد در انتهای حرکت خود تمام خانه‌های جدول را دیده است.

مسئله

    ساختمان جدید دپارتمان مهندسی کامپیوتر تنها شامل آسانسور بوده و پله ندارد. برای دسترسی سریع و مناسب به اتاق‌ها و کلاس‌های طبقات مختلف، آسانسورها به گونه‌ای تنظیم شده‌اند که تنها در طبقات مشخصی توقف داشته باشند؛ مثلا تعدادی تنها در طبقات زوج و تعدادی دیگر تنها در طبقات فرد. دکمه‌های داخل آسانسور و کنار ورودی آسانسور نیز تنها برای همین طبقات از پیش مشخص شده فعال هستند. این ایده دسترسی سریع و مناسب به طبقات ساختمان را برای برخی افراد فراهم می‌کند. به عنوان نمونه اعضای هیئت علمی دسترسی مستقیم به طبقات اتاق‌های خود دارند. اما در حالت کلی باعث سردرگمی می‌شود. اگر شخصی بخواهد از طبقه‌ای به طبقه‌ی دیگری برود، ممکن است هیچ آسانسوری در هر دوی آنها توقف نداشته باشد و شخص مجبور به تعویض آسانسور گردد. در چنین شرایطی این سوال پیش می‌آید که کدام آسانسور (یا آسانسورها) باید انتخاب شوند و کدام انتخاب‌ها شخص را در زمان کمتری به مقصد می‌رساند. اگر مسیر حرکت شخص از طبقه‌ی i به طبقه‌ی j به صورت $ i = f_1 \rightarrow f_2 \rightarrow f_3 \rightarrow \cdots \rightarrow f_k = j $ نمایش داده شود، عبارت $ \sum_{r=1}^{k-1} \vert f_i - f_{i+1} \vert $ زمان لازم برای رسیدن به مقصد از طریق آن مسیر است. برنامه‌ای بنویسید که افراد را در استفاده‌ی بهتر (در زمان کمتر) از آسانسورها یاری کند.

مسئله

    دو دوست در زمین نامحدودی متشکل از حصارهای دایره‌ای شکل هم‌اندازه با ساختار زیر قرار دارند:

مسئله

    ماتریس مربعی با ابعاد $N$ در $N$ و درایه‌هایی از اعداد صحیح موجود است. منظور از زیرماتریس بیشینه، زیرماتریسی از ماتریس مفروض است که مجموع عناصر آن بزرگتر یا مساوی مجموع عناصر هر زیرماتریس دیگر آن است.

    به عنوان مثال، برای ماتریس زیر:

مسئله

    یک چراغ راهنمایی در مسیر گردش از بزرگراه به یک مرکز فروش بزرگ تعبیه شده است. عملکرد این چراغ به گونه‌ای است که در هر دقیقه حداکثر k خودرو امکان گردش از بزرگراه به سمت مسیر مرکز را دارند. در پایان هفته شهروندان بیشتری برای خرید به این مرکز مراجعه می‌کنند که باعث بالا رفتن حجم ترافیک می‌شود. مدیران مرکز سفارش نصب دوربین ویژه‌ای در نزدیکی آن محل را داده‌اند که امکان شمارش تعداد خودروهای وارد شده از سمت شهر به محل گردش به مرکز فروش را دارد.

مسئله

    یکی از تیم‌های لیگ برتر فوتبال (جام خلیج فارس) امسال نتایج خیلی بدی گرفته است. هیئت مدیره‌ی باشگاه برای اخراج مربی تحت فشار هستند. اما این مربی از سوی طرفداران تیم به عنوان یک قهرمان محبوب حمایت می‌شود. به همین دلیل تصمیم می‌گیرند یک فرصت دیگر به مربی بدهند. سخنگوی باشگاه به رسانه‌ها اعلام می‌کند که هیئت مدیره‌ی باشگاه تنها زمانی از مربی حمایت می‌کنند که بتواند در 5 بازی آینده 11 امتیاز برای تیمشان کسب کند. مربی می‌خواهد بداند چقدر احتمال دارد به این موفقیت دست پیدا کند و از شما کمک می‌خواهد.فرض کنید احتمال کسب برد، باخت و تساوی در مسابقه‌های بعدی از روی مسابقات انجام شده تا به حال به دست می‌آید. به عنوان مثال اگر این تیم از 10 بازی انجام داده‌ی قبلی 3 برد داشته باشد، احتمال برد در آینده 30% خواهد بود.

یکی از مسائل جالب طراحی الگوریتم مسئله‌ی کاشیکاری یا فرش کردن زمین با موزاییک‌ است.

    فرض کنید قطعه زمین مربعی شکل با ابعادی از توان عدد دو داریم. مثلا با ابعاد 16 متر:

    هدف فرش کردن این قطعه زمین با استفاده از موزاییک‌هایی با شکل‌های زیر است: