الگوریتمستان

نوشته‌های یک علاقه‌مند به حوزه‌های برنامه‌نویسی، الگوریتم، حل مسئله و ریاضیات دوست داشتنی

 
در صورت ناخوانا بودن نوشته‌ها، از مرورگر دیگری استفاده کنید.
مرتب‌سازی درجی - الگوریتمستان
الگوریتمستان
آنچه می‌خوانید ویراست جدید نوشته‌ای است که اولین بار با عنوان «مرتب سازی درجی» مهر ماه ۱۳۸۵ از طریق وب‌سایت برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و نشانی پیشین وب‌سایت الگوریتمستان) منتشر شده بود.
آنچه در این نوشته می‌خوانید:

روش مرتب‌سازی درجی (Insertion Sort) یکی از روش‌های مقدماتی مرتب‌سازی مبتنی بر مقایسه‌ی عناصر است که در مقایسه با روش‌های دیگر بیشتر مورد توجه قرار دارد.

قفسه‌ی کتابی را در نظر بگیرید که قصد دارید کتاب‌ها را بر اساس عنوان و به ترتیب حروف الفبا مرتب کنید. از یک سمت قفسه شروع به مرتب کردن می‌کنید. ابتدا کتاب دوم را با کتاب اول مقایسه کرده و در صورت لزوم جابجا می‌کنید. سپس کتاب سوم را از محل خود برداشته و در مقایسه با دو کتاب قبلی در محل مناسب قرار می‌دهید. به همین ترتیب کتاب‌های بعدی را نیز نسبت به کتاب‌های مرتب‌شده‌ی قبلی در محل مناسب درج می‌کنید تا به آخر قفسه برسید.

عملکرد این الگوریتم به گونه‌ای است که در پایان هر مرحله قسمتی از داده‌ها به صورت کامل مرتب هستند. در مرحله‌ی بعدی نیز داده‌ای از میان داده‌های غیرمرتب به این قسمت مرتب وارد شده و در محل مناسب درج می‌شود. اگر بخواهیم با روش مرتب‌سازی درجی لیست اعداد زیر را به صورت صعودی (کوچک به بزرگ) مرتب ‌کنیم، در پایان هر مرحله ترتیب عناصر به صورت زیر خواهد بود:

  

0)    5 1 2 7 3 6

  

1)    1 5 2 7 3 6

2)    1 2 5 7 3 6

3)    1 2 5 7 3 6

4)    1 2 3 5 7 6

5)    1 2 3 5 6 7

  

پیاده‌سازی مرتب‌سازی درجی

  [برگرد بالا]

الگوریتم مرتب‌سازی درجی به زبان‌های برنامه‌نویسی ++C و Python برای مرتب کردن عناصر آرایه‌ای از اعداد صحیح به صورت زیر پیاده‌سازی می‌شود:

  

void insertion_sort(int arr[], int n){

  int i, j, t;

  for(i = 1 ; i < n ; i++){

    t = arr[i];

    for(j = i  ; j > 0 ; j--){

      if(t >= arr[j - 1])

        break;

      arr[j] = arr[j - 1];

    }

    arr[j] = t;

  }

}

  

def insertion_sort(arr):

    for i in range(1, len(arr)):

        t = arr[i]

         for j in range(i, 0, -1):

             if t >= arr[j - 1]:

                 break

             arr[j] = arr[j - 1]

        arr[j] = t  

  

حلقه‌ی بیرونی مراحل مختلف مرتب‌سازی را پیاده‌سازی کرده و حلقه‌ی درونی در هر مرحله محل مناسب عنصر جدید را می‌یابد. در انتها نیز این عنصر در محل صحیح خود درج می‌شود. برای درک بهتر، مراحل عمل این الگوریتم به ازای لیست مثال فوق مجددا بررسی می‌شود:

  

5 1 2 7 3 6

  

در مرحله‌ی اول i = 1 و t = 1 است:

  

j = 1:    5 5 2 7 3 6

       :    1 5 2 7 3 6

  

در مرحله‌ی دوم i = 2 و t = 2 است:

  

j = 2:    1 5 5 7 3 6

j = 1:    1 5 5 7 3 6

       :    1 2 5 7 3 6

  

در مرحله‌ی سوم i=3 و t = 7 است:

  

j = 3:    1 2 5 7 3 6

       :    1 2 5 7 3 6

  

در مرحله‌ی چهارم i = 4 و t = 3 است:

  

j = 4:    1 2 5 7 7 6

j = 3:    1 2 5 5 7 6

j = 2:    1 2 5 5 7 6

       :    1 2 3 5 7 6

  

و در مرحله‌ی پنجم i = 5 و t = 6 است:

  

j = 5:    1 2 3 5 7 7

j = 4:    1 2 3 5 7 7

       :    1 2 3 5 6 7

  

در پایان لیست مرتب شده است.

  

پیچیدگی زمانی مرتب‌سازی درجی

  [برگرد بالا]

بدترین حالت این الگوریتم زمانی اتفاق می‌افتد که لیست به صورت معکوس مرتب باشد. در این حالت حلقه‌ی داخلی در مرحله‌ی اول یک بار، در مرحله‌ی دوم دو بار، در مرحله‌ی سوم سه بار و در حالت کلی در مرحله‌ی iام (i < n) به تعداد i بار تکرار می‌شود. پس اگر $ T(n) $ تعداد مقایسه‌های حلقه‌ی داخلی به ازای n عنصر را نشان دهد، می‌توان نوشت:

  

\[T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = \frac{ n (n - 1)}{ 2 } \approx \frac{ n^2}{ 2} \]

  

که از مرتبه‌ی اجرای $ Θ(n^2)$ است.

بهترین حالت الگوریتم زمانی است است که لیست از پیش مرتب شده باشد. در این حالت هر حلقه‌ی درونی با یکبار مقایسه خاتمه پیدا می‌کند. در نتیجه تعداد کل مقایسه‌ها از مرتبه $ Θ(n) $ خواهد بود.

حالت متوسط برای شرایطی که عناصر به صورت تصادفی پخش شده باشند محاسبه می‌شود. در این حالت در هر تکرار حلقه‌ی بیرونی، حلقه‌ی داخلی برای یافتن محل مناسب درج عنصر جدید به طور میانگین نصف لیست مرتب شده را پیمایش می‌کند. در نتیجه حدود $ \frac{n^2}{4} $مقایسه صورت خواهد گرفت (چرا؟). این تعداد اگرچه از مرتبه‌ی اجرای $ Θ(n^2) $ است، اما در مقایسه با بدترین حالت (تقریبا $\frac{n^2}{2} $ مقایسه) عملکرد بهتری را نشان می‌دهد.

  

ویژگی‌های مرتب‌سازی درجی

  [برگرد بالا]

1- پیچیدگی زمانی الگوریتم مرتب‌سازی درجی در بدترین حالت و حالت متوسط $ \theta (n^2) $ و در بهترین حالت $ \theta(n) $ است.

2- یکی از ویژگی‌های مهم مرتب‌سازی درجی این است که در حالت متوسط برای درج عنصر جدید در لیست مرتب شده نیاز به مقایسه عنصر با تمامی عناصر ندارد. به همین دلیل کارآیی آن در مقایسه با بدترین حالت بهتر است. از سوی دیگر، این روش برای مرتب کردن عناصر به جای عمل جابجایی - که نیاز به سه عمل اصلی مقداردهی دارد - از کپی کردن استفاده می‌کند. در این روش ابتدا مقدار عنصر جدید در یک متغیر کمکی (در قطعه کد فوق متغیر t) ذخیره شده و جابجا کردن عناصر بزرگتر به انتهای لیست با یک عمل اصلی انجام می‌گیرد. در انتها نیز مقدار عنصر جدید در محل مناسب درج می‌شود. در چنین حالتی تعداد اعمال اصلی انچام شده کمتر از تعداد اعمال مورد نیاز در عمل جابجایی است. به همین دلیل این روش به روش‌های مقدماتی دیگر (مانند روش مرتب‌سازی حبابی و انتخابی) ارجحیت داشته و در مراحل نهایی مرتب‌سازی‌های پیشرفته (مانند روش مرتب‌سازی سریع) از این روش به عنوان روش مرتب‌سازی جایگزین استفاده می‌شود. اگر تعداد عناصر لیست کمتر از بیست عنصر باشد، این روش در مقایسه بار روش‌های متداول مرتب‌سازی سریعتر عمل می‌کند.

3- حافظه‌ی مصرفی مرتب‌سازی درجی از مرتبه‌ی $ \theta(1) $ بوده و مستقل از اندازه لیست است. چنین الگوریتمی را مرتب‌سازی درجا گویند.

4- در صورتی که مرتب‌سازی درجی به صورت قطعه کد فوق پیاده‌سازی شود، یک مرتب‌سازی پایدار خواهد بود. یعنی ترتیب عناصر با مقادیر یکسان در حین مرتب‌سازی تغییر نمی‌کند. اما اگر به جای شرط [t >= arr[j - 1 از شرط [t > arr[j - 1 استفاده شود، الگوریتم ناپایدار خواهد شد.

مسعود اقدسی‌فام

مسعود اقدسی‌فام هستم.

یک معلم علاقه‌مند به تحقیق، تدریس و نوشتن در حوزه‌های برنامه‌نویسی، الگوریتم و حل مسئله :)

اشتراک‌گذاری نوشته
algs.ir/spgwext     اشتراک‌گذاری در LinkedIn     اشتراک‌گذاری در Twitter     ارسال با Telegram     ارسال با WhatsApp
امتیاز به نوشته
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

نام: *  

پست الکترونیک:

وب‌سایت:

متن پیام: *  

01 02 06 07 08 09 10 11 12 13 14


• الناز
یکشنبه، ۲۹ مرداد ماه ۱۳۹۱، ساعت ۲۰:۱۹

مرسي خيلي مفيد بود من داشتم مي خوندمش از روي الگوريتم گيج شدم اما با توضيحاتي كه قسمت اول دادين و مثالي كه با اعداد زدين متوجه شدم.

خيلي خيلي تشكر01


• صمد
دوشنبه، ۴ دی ماه ۱۳۹۱، ساعت ۰۲:۱۲

08130301مرسی خیلی ممنون عالی بود داشتم آماده میکردم با پاور پوینت ببرم برای استاد که گفتن وقتش دیروز بود تموم شد !!

هی خداااا07


• صمد
دوشنبه، ۴ دی ماه ۱۳۹۱، ساعت ۰۲:۱۴

08130301مرسی خیلی ممنون عالی بود داشتم آماده میکردم با پاور پوینت ببرم برای استاد که گفتن وقتش دیروز بود تموم شد !!

www.sami-chat.ir

هی خداااا07


• نجم الدین
دوشنبه، ۲ اردیبهشت ماه ۱۳۹۲، ساعت ۰۹:۵۵

خیلی ممنون که مطالب خوب و مفیدی در مورد الگوریتم ها در این سایت گذاشتید

واقعا دستتون درد نکنه03


• منا
سه‌شنبه، ۱۰ اردیبهشت ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۸:۴۲

خیلی ممنون عالی بود


• علی
دوشنبه، ۴ آذر ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۵:۱۵

تشکر


• دوست عزیز
یکشنبه، ۱۱ اسفند ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۱:۴۵

صد باریک12121212121212


• یلدا
چهارشنبه، ۱۹ شهریور ماه ۱۳۹۳، ساعت ۱۰:۰۵

عالللللللللللللللللللییییییییییییی بود   تشکر06


• زانیا
چهارشنبه، ۲۳ فروردین ماه ۱۳۹۶، ساعت ۰۸:۱۴

0909090909


• شوگو
چهارشنبه، ۲۳ فروردین ماه ۱۳۹۶، ساعت ۰۸:۱۵

10101010101010


• amir
دوشنبه، ۱۹ آذر ماه ۱۳۹۷، ساعت ۱۰:۵۱

عالی بود

ممنون


• pooya
یکشنبه، ۹ تیر ماه ۱۳۹۸، ساعت ۱۶:۳۵

سلام،در مقابله با برخی از طراحی هاو الگوریتم ها حتی همین الگوریتم های مقدماتی مثل مرتب سازی درجی یا سری فیبونانچی و... تا زمانی که جواب رو مشاهده نکردم نمیتونم اونجور که باید برنامه رو پیاده سازی کنم(کدنوشتن بلدم فقط در طراحی الگوریتم مشکل دارم) یعنی احساس می کنم خط ومشی کلی برنامه ریزی یک الگوریتم نو رو بلد نیستم درصورتی که در حوزه الگوریتم تا به حال چندین فیلم و به صورت پراکنده کتاب دیدم و بررسی کردم(البته به غیر از کتاب معروف  introduction to algorithm clrs که فقط چندصفحه اولش رو خواندم)04حال از شما می پرسم آیا الگوریتم نوشتن یک خط و مشی وترتیب خاصی داره که باید رعایت بشه؟

یعنی وقتی کسی درخواست حل مسئله رو ازماداره درهمان ابتدا میتوان گفت یا حدس زد این مسئله چند متغیر نیاز داره؟چندحلقه باید به کاربرده بشه؟چندتا دستورشرطی میخوادو... .

آیا درکتاب هایی که تابحال خودتان بررسی کردید اینجوری آموزش داده شده؟

یا مثلا اینجور الگوریتم های مقدماتی رو به صورت حفظی میخوانید؟ اگر اینطور نیست پس چطور مسئله رو خرد می کنید و راهبردهایش رو پیدا می کنید؟

لطفا به صورت کلیشه ای پاسخ ندید و اگرهم منبعی(ترجیحا فارسی ولی اگرهم انگلیسی بود اشکالی ندارد)سراغ دارید معرفی کنید و هرکمک وتجربه ای دراین رابطه داریدلطفا بیان کنید.


کمی آمار
  • عمر نوشته:  ۳۹۱۴ روز
  • تعداد امتیاز ثبت شده:  ۸۹ امتیاز
  • میانگین امتیازها:  ۴.۳۳ از ۵.۰۰
  • بازدید امروز:  ۳ بازدید
  • بازدید ۲۴ ساعت گذشته:  ۱۱ بازدید
  • بازدید ۷ روز گذشته:  ۱۰۴ بازدید
  • بازدید ۳۰ روز گذشته:  ۳۱۸ بازدید
  • بازدید ۱ سال گذشته: ۳۱۴۱ بازدید
  • کل بازدیدها: ۷۴۷۶ بازدید
برچسب‌ها
#آمادگی مسابقه برنامه‌نویسی  #آموزش الگوریتم  #مسئله‌های الگوریتمی  #برنامه‌نویسی ++C  #الگوریتم  #نمونه سوالات مسابقه برنامه‌نویسی  #حل مسئله‌‌ی الگوریتمی  #برنامه‌نویسی  #منبع آموزشی  #حل سوالات مسابقات برنامه‌نویسی  #الگوریتم‌های تقسیم و غلبه  #نمونه سوال مسابقه ACM  #الگوریتم‌های برنامه‌نویسی پویا  #الگوریتم‌های بازگشتی  #کتاب الکترونیکی  #آموزش ساختمان داده‌ها  #تکنیک‌های طراحی الگوریتم  #محاسبات ریاضی  #گراف  #دانلود کتاب  #حل سوالات ACM-ICPC  #الگوریتم‌های مرتب‌سازی  #سوالات مسابقات ACM-ICPC  #Python  #پیمایش گراف  #ساختمان داده  #کتاب مسابقات برنامه‌نویسی  #الگوریتم‌های گراف  #حل سوالات UVa Online Judge  #الگوریتم‌های مسیریابی  #الگوریتم‌های حریصانه  #درخت‌ها  #سوالات UVa Online Judge  #جستجوی اول سطح  #ماتریس  #الگوریتم‌های کوتاهترین مسیر  #درخت پوشا  #الگوریتم دایکسترا  #ویدئوی آموزشی  #معرفی وب‌سایت  #الگوریتم فلوید-وارشال  #مسئله‌ی کوله‌پشتی  #جستجوی اول عمق  #کتابخانه قالب استاندارد ++C  #صف  #سوالات مسابقات برنامه‌نویسی بیان  #الگوریتم‌های عقبگرد  #حل سوالات Timus Online Judge