بستن پنجره
فرادرس - مجموعه آموزش‌های ویدئویی  مهندسی کامپیوتر - طراحی الگوریتم - ساختمان داده
بستن پنجره     از آخرین نوشته‌ها

»    مسابقه‌ی برنامه‌نویسی آنلاین Educational Codeforces Round 25

»    دوره‌ی طراحی و تحلیل الگوریتم دانشگاه استنفورد

»    مسئله‌ی انتخابات

بستن پنجره
امتیاز دهید:
به وبگاه

به این صفحه
بستن پنجره
وبگاه     این صفحه
ضرب استراسن - الگوریتمستان
الگوریتمستان
4414.095.00
  »  

       

آشنایی با الگوریتم استراسن برای محاسبه‌‌ی حاصلضرب ماتریس‌ها

http://www.aachp.ir آنچه می‌خوانید ویراست جدید نوشته‌ای است که اولین بار با عنوان «ضرب استراسن» آبان ماه 1386 از طریق وبگاه برنامه‌نویسی و طراحی الگوریتم (عنوان و طرح پیشین وبگاه الگوریتمستان) منتشر شده بود.


همه‌ی ما با تعریف ضرب ماتریس‌های مربعی آشنایی داریم. حاصلضرب ماتریس‌های مربعی A و B به صورت زیر تعریف می‌شود:

      

\[ A=(a_{ij})_{n \times n} = \qquad , \qquad B=(b_{ij})_{n \times n} \] \[ C = A \times B = (c_{ij})_{n \times n} \qquad ; \qquad c_{ij}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \; b{kj} \]

      

    به عنوان مثال در حالت $n = 2$ داریم:

      

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \]

      

    همانگونه که از تعریف پیداست، برای محاسبه‌ی هر درایه نیاز به $n$ عمل ضرب داریم. بنابراین برای محاسبه‌ی تمامی $n^2$ درایه‌ی ماتریس C به $n^3$ عمل ضرب نیاز خواهیم داشت. یعنی الگوریتم ضرب ماتریس‌ها با تعریف اصلی آن از مرتبه‌ی $O(n^3)$ است.

    قبل از ادامه‌ی بحث به مثال زیر توجه کنید:

      

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 9 \\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix} \; \leftrightarrow \; A^\prime \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 9 & 0 \\ -2 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ B = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 5 \\ 10 & 3 & 1 \end{pmatrix} \; \leftrightarrow \; B^\prime \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 5 & 0 \\ 10 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] \[ C = A \times B = \begin{pmatrix} -1 & 14 & 13 \\ 85 & 43 & 29 \\ 42 & 20 & 8 \end{pmatrix} \; \leftrightarrow \; C^\prime = A^\prime \times B^\prime = \begin{pmatrix} -1 & 14 & 13 & 0 \\ 85 & 43 & 29 & 0 \\ 42 & 20 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

      

    این مثال نشان می‌دهد که اضافه کردن سطرها و ستون‌های صفر به ماتریس، تاثیری در جواب نهایی حاصلضرب ندارد. این مطلب را به صورت منطقی و عبارات ریاضی هم می‌توان ثابت کرد.

    حال فرض کنید $n$ توانی از عدد دو باشد. اگر اینطور نبود با اضافه کردن تعداد مناسبی از سطرها و ستون‌های صفر مرتبه‌ی ماتریس‌ها را به توانی از عدد 2 می‌رسانیم. سپس هر کدام از ماتریس‌های A و B را به چهار زیر ماتریس به فرم زیر تقسیم می‌کنیم:

      

\[ \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12}\\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \qquad , \qquad \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} \]

      

    به راحتی می‌توان ثابت کرد:

      

\[ C = A \times B = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22}\\ A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \end{pmatrix} \]

      

    اما آیا این تقسیم‌بندی تاثیری در بهینه شدن تعداد محاسبات دارد؟

    فرض کنیم $T(n)$ تعداد ضربهای لازم برای محاسبه‌ی حاصلضرب این دو ماتریس - با استفاده از زیرماتریس‌ها - باشد. پس داریم:

      

\[ T(n) = 8 \; T \Big( \frac{n}{2} \Big) \qquad , \qquad T(1) = 1 \]

      

    با حل این رابطه‌ی بازگشتی به نتیجه‌ی زیر می‌رسیم:

      

\[ T(n) =  8 \; T \Big( \frac{n}{2} \Big) =  8^2 \; T \Big( \frac{n}{2^2} \Big) = \cdots =  8^k \; T \Big( \frac{n}{2^k} \Big) \] \[ n = 2 ^ k \; \Rightarrow \; T(n) = 8 ^ k \; T( \frac{n}{n} ) = {(2^3)}^k \; T(1) = {(2^k)}^3 \times 1 = n ^ 3 \]

      

    که نشان می‌دهد همچنان $n^3$ عمل ضرب برای محاسبه‌ی حاصلضرب نیاز است.

    ولکر استراسن با بررسی‌هایی که انجام داد، الگوریتم تقسیم و غلبه‌ای برای ضرب ماتریس‌ها با استفاده از تقسیم‌بندی ارائه داد که به جای هشت عمل ضرب در هر مرحله، هفت عمل نیاز دارد. به این ترتیب:

      

\[ T^\prime(n) =  7 \; T^\prime \Big( \frac{n}{2} \Big) =  7^2 \; T^\prime \Big( \frac{n}{2^2} \Big) = \cdots =  7^k \; T^\prime \Big( \frac{n}{2^k} \Big) \] \[ n = 2 ^ k \; \Rightarrow \; T^\prime(n) = 7 ^ k \; T^\prime( \frac{n}{n} ) = {(2^{log_27})}^k \; T^\prime(1) = {(2^k)}^{log_27} \times 1 = n ^ {log_27} \]

      

    در نتیجه مرتبه‌ی اجرای الگوریتم به $O(n^{2.81})$ تبدیل می‌شود. به عنوان مثال اگر n برابر 1024 باشد:

      

\[ n = 1024 = 2^{10} \Rightarrow k = 10 \] \[ T(1024) = 8 ^{10} = 1073741824 \] \[ T^\prime(1024) = 7 ^{10} = 282475249 \] \[ \frac{T(1024)}{T^\prime(1024)} \simeq 3.8 \]

      

    یعنی در این حالت زمان محاسبه‌ی حاصلضرب به روش استراسن نسبت به حالت عادی نزدیک به چهار برابر کمتر می‌شود.

    در روش استراسن ماتریس‌های زیر که همه از مرتبه‌ی $\frac{n}{2}$ هستند از روی زیرماتریس‌های ماتریس‌های A و B ساخته می‌شوند:

      

\[ P=(A_{11}+A_{22})(B_{11}+B_{22}) \] \[ Q=(A_{21}+A_{22})B_{11} \] \[ R=A_{11}(B_{12}-B_{22}) \] \[ S=A_{22}(B_{21}-B_{11}) \] \[ T=(A_{11}+A_{12})B_{22} \] \[ U=(A_{21}-A_{11})(B_{11}+B_{12}) \] \[ V=(A_{12}-A_{22})(B_{21}+B_{22}) \]

      

    که تنها هفت عمل ضرب برای محاسبه نیاز دارند. استراسن ثابت کرد زیرماتریس‌های متناظر ماتریس حاصلضرب از رابطه‌های زیر به دست می‌آید:

      

\[ C_{11}=P+S-T+V \] \[ C_{12}=R+T \] \[ C_{21}=Q+S \] \[ C_{22}=P-Q+R+U \]

      

    تقسیم کردن ماتریس‌ها به چهار بخش - برای محاسبه به روش استراسن - تا زمانی ادامه پیدا می‌کند که مرتبه‌ی ماتریس‌ها به 2 برسند. وقتی به این مرحله رسیدیم، با تعریف اصلی ضرب ماتریس‌ها حاصلضرب را محاسبه می‌کنیم.

    نکته: علت اینکه چرا تنها عمل ضرب را بررسی کردیم این بود که عمل ضرب هزینه‌ی زمانی بیشتری نسبت به عمل جمع و تفریق دارد. اگرچه می‌توان ثابت کرد که این روش به ازای مقادیر بزرگ n از نظر میزان عمل جمع و تفریق هم کاراتر است.


این نوشته آخرین بار در تاریخ مورد بازنویسی علمی قرار گرفته است.
نوشته‌های مرتبط
        بررسی مسئله‌ی حداکثر مجموع، از سوالات آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی
        آشنایی با روش مرتب‌سازی ادغامی با قطعه کدهایی به زبان برنامه‌نویسی ++C
        بررسی الگوریتم‌های محاسبه‌ی دنباله‌ی اعداد فیبوناچی و کارایی آنها
        آشنایی با روش مرتب‌سازی سریع، همراه با قطعه کدهای نمونه به زبان برنامه‌نویسی ++C
        بحث در مورد ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و روش پیاده‌سازی الگوریتم پرانتزبندی بهینه‌ی آن با روش تقسیم و حل و روش برنامه‌نویسی پویا
        آشنایی با دنباله‌ی عددی کاتالان، کاربردها و روش پیاده‌سازی آن به زبان برنامه‌نویسی ++C
        معرفی کتاب Concrete Mathematics برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی
        بررسی روش‌های مختلف محاسبه‌ی ضرایب دوجمله‌ای نیوتن یا ترکیب دو عدد با قطعه کد به زبان برنامه‌نویسی ++C
        بررسی روش‌های بسط لاپلاس، گاوس، فرمول تحویل و ساروس، برای محاسبه‌ی دترمینان ماتریس مربعی و پیچیده‌گی زمانی آنها
        بررسی مسئله‌ی برج هانوی و روش‌های حل بازگشتی و غیربازگشتی آن به همراه کد به زبان ++C
پیوند کوتاه صفحه دسته‌بندی
امتیاز نوشته
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
ارسال پیام

نام: *  

پست الکترونیک:

وبگاه:

متن پیام: *

right 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 left

 


» جابر

دوشنبه، ۲۲ آذر ماه ۱۳۹۵، ساعت ۱۳:۲۳
به نظرم زیاد جال نبود

» فاطمه

دوشنبه، ۱۱ آبان ماه ۱۳۹۴، ساعت ۲۱:۳۰
خیلی عالی توضیح دادین. مختصر و مفید. خیلی ممنون 12

» سعید

سه‌شنبه، ۵ خرداد ماه ۱۳۹۴، ساعت ۱۶:۴۸
خیلی بد بود چی بود این؟ضرب اترایست فقط همینه داداشه من؟ 10 10 11 11

» 1

شنبه، ۱۸ آبان ماه ۱۳۹۲، ساعت ۱۷:۴۲
0505050505050505

» lili

یکشنبه، ۱۴ آبان ماه ۱۳۹۱، ساعت ۱۰:۵۴
سلام.
ممنون میشم اگه سوالما تا 3شنبه جواب بدین اخرین وقتشه.
ضرب دو ماتریس 3*3 به روش استراسنوساده وتعداد جمع ها وضربهادر هر یک کدام روش بهتر است؟؟؟؟06

» سحر

دوشنبه، ۸ اسفند ماه ۱۳۹۰، ساعت ۰۱:۰۳
salam, merc az matalebe por mohtavatoon, mikhastam khahesh konam algoritme zarbe matris ro ham be zabane ++c benevisin, man kheyli gashtam vali peyda nakardam , mamnoon

» رضا

سه‌شنبه، ۶ مهر ماه ۱۳۸۹، ساعت ۱۳:۲۵
احسن   جالب بود

» همتا

سه‌شنبه، ۱۷ فروردین ماه ۱۳۸۹، ساعت ۱۵:۱۶
سلام دوست عزیز
راه حلی به نظرتون میرسه که طول آرایه رو بشه تو پشته نگهداری کرد؟

» goli

دوشنبه، ۱۷ اسفند ماه ۱۳۸۸، ساعت ۱۱:۰۰
04خیلی چرت بود

» zebel

جمعه، ۱۶ بهمن ماه ۱۳۸۸، ساعت ۲۱:۴۷
سلام
میشه الگوریتم ضرب دو ماتریس به روش استراسن رو پیاده سازی کنید؟
یا الگوریتم ضرب اعداد صحیح بسیار بزرگ را (به روش تقسیم و غلبه) پیاده سازی کنید.
اینا پروژه دانشگاهمه
متشکرم

» راضیه

سه‌شنبه، ۵ آبان ماه ۱۳۸۸، ساعت ۱۹:۱۸
سلام ببخشید من برنامه ضرب اعداد بزرگ را به روش تقسیم وحل میخوام اگه دارین ممنون میشیم تا 5 شنبه برام بزارین10


دوشنبه، ۱۱ آبان ماه ۱۳۸۸، ساعت ۱۹:۱۲
مسعود:
سلام
اگر قوانین ارسال پیام رو مطالعه کرده بودید متوجه می شدید که به درخواست برنامه آماده پاسخی داده نمی شه.
ممنون از حضورتون.

» پرستو

سه‌شنبه، ۲۱ مهر ماه ۱۳۸۸، ساعت ۱۳:۵۰
به که با این کارت لطفی بزرگ به من و بشریت می کنی . خیلی بخشنده ای که علمتو در اختیار دیگران بدون هیچ چشم داشتی میگذاری واقعا خسته نباشید . یه روز جواب این همه مهربونی هاتو از خدا می گیری. چون مشکل منو حل کردی .

» acm

پنجشنبه، ۱۹ شهریور ماه ۱۳۸۸، ساعت ۱۰:۵۵
سلام رفیق برا چی وقتی باهنر قبول شدی نرفتی


شنبه، ۲۱ شهریور ماه ۱۳۸۸، ساعت ۱۸:۲۶
مسعود:
سلام رفيق
خدمت سربازي اجازه ادامه تحصيل بهم نداد. تا تموم شدن اين دوره حق ادامه تحصيل ندارم.
ممنون كه به يادم بودي. 01