الگوریتمستان

یادداشت‌های یک معلم علاقه‌مند به نوشتن از آنچه آموخته و یاد می‌دهد
 

الگوریتم‌های بازگشتی

پیمایش درخت دودویی
در علم کامپیوتر و ساختمان‌ داده‌های برنامه‌نویسی منظور از درخت دودویی درختی است که از یک گره به نام ریشه و حداکثر دو زیردرخت برای این گره تشکیل شده است که هر کدام از این دو زیردرخت خودشان یک درخت دودویی هستند. به دو گره ریشه این دو زیردرخت (در صورت موجود بودن) فرزندان چپ و راست گفته می‌شود. به همین ترتیب زیردرختی که فرزند راست در گره آن قرار دارد زیردرخت راست و زیردرختی که فرزند چپ در گره آن قرار دارد زیردرخت چپ گره نامیده می‌شوند.

  

دوره طراحی و تحلیل الگوریتم دانشگاه استنفورد

ویدئوهای جلسات آموزشی طراحی و تحلیل الگوریتم پروفسور Tim Roughgarden دانشگاه استنفورد از طریق پیوندهای زیر قابل مشاهده است. در این دوره هر الگوریتم یا ساختمان داده بحث شده، همراه با تحلیل، مثال‌های کاربردی یا جایگاه مورد نیاز آنها است.

دنباله اعداد فیبوناچی

بسیاری از فرآیندهای طبیعی از جمله ترکیب ساختار بدن موجودات زنده نظم مشخصی دارند و از دنباله اعدادی تبعیت می‌کنند که امروزه با نام دنباله اعداد فیبوناچی (فیبوناتچی - Fibonacci) شناخته می‌شود. مشهورترین خاصیت این اعداد نسبت دو جمله متوالی آنها به ازای جملات بزرگ دنباله است که به عدد طلایی مشهور است.

محاسبه فاکتوریل اعداد بزرگ

ما معمولا برای توضیح رشد با سرعت زیاد از عبارت «رشد نمایی» استفاده می‌کنیم. رشد نمایی یعنی هر گام که پیش می‌رویم، از گام $n$ به گام $n + 1$، اندازه دو یا هر چند برابری می‌شود که به آن پایه یا مبنای رشد گفته می‌شود. این پایه همیشه ثابت است؛ یعنی چه مرحله اول باشیم و چه مرحله هزارم، همیشه مرحله بعدی ضرب در عدد ثابتی می‌شود. در حالت کلی می‌توان نوشت:

الگوریتم مرتب‌سازی ادغامی

روش مرتب‌سازی ادغامی (Merge Sort) یک روش مرتب‌سازی مبتنی بر مقایسه عناصر با استفاده از روش تقسیم و غلبه است. این روش از مراحل بازگشتی زیر تشکیل یافته است:

1- آرایه را به دو زیرآرایه با اندازه تقریبا یکسان تقسیم کن.

الگوریتم مرتب‌سازی سریع

روش مرتب‌سازی سریع (Quick Sort) یکی از الگوریتم‌های مشهور مرتب‌سازی داده‌ها است. این الگوریتم طی مراحل بازگشتی زیر یک روش تقسیم و غلبه برای مرتب کردن داده‌ها ارائه می‌نماید:

1- انتخاب عنصر محوری: یکی از عناصر آرایه به عنوان عنصر محوری (pivot) - به عنوان مثال عنصر اول - انتخاب می‌شود.

دنباله اعداد کاتالان و محاسبه آن

دنباله اعداد کاتالان (Catalan Numbers) یکی از دنباله‌های عددی مشهور ریاضیات است که برای عدد نامنفی n به صورت $C_n$ نمایش داده می‌شود.

  

$C_n:\qquad 1,\;1,\;2,\;5,\;14,\;42,\;132,\;429,\;1430,\;4862,\;16796,\;\cdots$

محاسبه ضرایب دوجمله‌ای

تعریف ترکیب (Combination)

تعداد حالت‌های انتخاب r (عدد صحیح و نامنفی) شیء از n (عدد صحیح و بزرگتر یا مساوی r) شیء را که ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد، انتخاب r از n یا ترکیب r روی n گویند و به یکی از صورت‌های زیر نمایش می‌دهند:

  

محاسبه دترمینان ماتریس

دترمینان ماتریس مربعی - که به صورت $ \vert A \vert $ یا $ det( A ) $ نمایش داده می‌شود - یکی از مفاهیم مشهور جبر خطی است که کاربردهای بسیاری در علوم مختلف دارد. امکان محاسبه سریع دترمینان یک ماتریس با ابعاد بزرگ بحث مهمی است که در ادامه سه روش محاسباتی رایج و پیچیدگی زمانی آنها مرور خواهند شد.

برج هانوی

علاقه‌مندان به مباحث مختلف طراحی الگوریتم و همینطور شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی به خوبی می‌دانند که یکی از مهمترین پارامترهای طراحی موفقیت‌آمیز یک الگوریتم، شیوه صحیح فکر کردن روی حل مسئله است. حل انواع سوالات الگوریتمی به ما کمک می‌کند ذهن خودمان را برای حل مسائل پیچیده‌تر آماده کنیم. مسئله برج هانوی (Tower of Hanoi) یکی از مسائل تاریخی مشهور است که در مباحث طراحی الگوریتم نیز به آن پرداخته می‌شود.

مسئله کاشیکاری

یکی از مسائل جالب طراحی الگوریتم مسئله کاشیکاری یا فرش کردن زمین با موزاییک‌ است. فرض کنید قطعه زمین مربعی شکل با ابعادی از توان عدد دو داریم. هدف فرش کردن این قطعه زمین با استفاده از موزاییک‌هایی با شکل L است به قسمی که یکی از خانه‌های زمین شطرنجی شده فوق پوشیده نشود. می‌توان فرض کرد از این خانه برای احداث باغچه یا حوضچه کوچکی استفاده خواهد شد. در ضمن حق شکستن این موزاییک‌ها به تکه‌های کوچکتر را نداریم.

الگوریتم‌های تقسیم و حل

یکی از روش‌های پرکاربرد و محبوب برای طراحی الگوریتم‌ها روش Divide and Conquer است که در زبان فارسی به صورت الگوریتم‌های تقسیم و حل یا تقسیم و غلبه ترجمه شده است.

در این روش، داده‌ها به دو یا چند دسته تقسیم شده و حل می‌شوند. سپس با ترکیب مناسب نتایج به دست آمده از این زیرمسئله‌ها، مسئله اصلی حل می‌شود. در صورتی که زیرمسئله خود به اندازه کافی بزرگ باشد، می‌توان از همین روش برای حل آن استفاده کرد. تقسیمات متوالی زیرمسئله‌ها تا جایی ادامه پیدا می‌کند که به اندازه کافی کوچک شده باشند و بتوان آنها را با روش‌های دیگر به راحتی حل نمود.