الگوریتم‌های بازگشتی

بسیاری از فرآیندهای طبیعی از جمله ترکیب ساختار بدن موجودات زنده نظم مشخصی دارند و از دنباله‌ی اعدادی تبعیت می‌کنند که امروزه با نام دنباله‌ی اعداد فیبوناچی (فیبوناتچی - Fibonacci) شناخته می‌شود. مشهورترین خاصیت این اعداد نسبت دو جمله‌ی متوالی آنها به ازای جملات بزرگ دنباله است که به عدد طلایی مشهور است.

    این دنباله از جمله دنباله‌های عددی است که در طراحی سوالات مسابقات برنامه‌نویسی نیز استفاده می‌شود و گاهی در حل سوالات کاربرد دارد. از این رو آشنایی با روش‌های مختلف تولید جملات آن حائز اهمیت است.

    تعریف: دنباله‌ی اعداد فیبوناچی روی اعداد حسابی به صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ F_n= \left \{\begin{matrix} F_{n-1} + F_{n-2} & & & \; n > 1\\ 1 & & & \; n = 1 \\ 0 & & & n = 0 \end{matrix}\right. \]

روش مرتب‌سازی ادغامی (Merge Sort) یک روش مرتب‌سازی مبتنی بر مقایسه‌ی عناصر با استفاده از روش تقسیم و غلبه است. این روش از مراحل بازگشتی زیر تشکیل یافته است:

    1- آرایه را به دو زیرآرایه با اندازه‌ی تقریبا یکسان تقسیم کن.

    2- دو زیرآرایه را به روش مرتب‌سازی ادغامی مرتب کن.

    3- دو زیرآرایه‌ی مرتب‌شده را ادغام کن.

روش مرتب‌سازی سریع (Quick Sort) یکی از الگوریتم‌های مشهور مرتب‌سازی داده‌ها است. این الگوریتم طی مراحل بازگشتی زیر یک روش تقسیم و غلبه برای مرتب کردن داده‌ها ارائه می‌نماید:

    1- انتخاب عنصر محوری: یکی از عناصر آرایه به عنوان عنصر محوری (pivot) - به عنوان مثال عنصر اول - انتخاب می‌شود.

    2- تقسیم آرایه: چینش عناصر آرایه به قسمی تغییر داده می‌شود که تمامی عناصر کوچکتر یا مساوی محور در سمت چپ آن و تمامی عناصر بزرگتر در سمت راست آن قرار بگیرند. این دو قسمت زیر آرایه‌های چپ و راست نامیده می‌شوند.

    3- مرتب‌سازی بازگشتی: زیرآرایه‌های چپ و راست به روش مرتب‌سازی سریع مرتب می‌شوند.

دنباله‌ی اعداد کاتالان (Catalan Numbers) یکی از دنباله‌های عددی مشهور ریاضیات است که برای عدد نامنفی n به صورت $C_n$ نمایش داده می‌شود.

$C_n:\qquad 1,\;1,\;2,\;5,\;14,\;42,\;132,\;429,\;1430,\;4862,\;16796,\;\cdots$

    این دنباله کاربردهای بسیاری در مسائل شمارشی دارد. از جمله:

    1- تعداد درخت‌های دودویی با n رأس داخلی برابر $C_n$ است:

تعریف ترکیب (Combination)

    تعداد حالت‌های انتخاب r (عدد صحیح و نامنفی) شیء از n (عدد صحیح و بزرگتر یا مساوی r) شیء را که ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد، انتخاب r از n یا ترکیب r روی n گویند و به یکی از صورت‌های زیر نمایش می‌دهند:

\[C(n,r) = C_r^n= \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} \]

    این عدد به ضریب دوجمله‌ای نیز مشهور است که یکی از محل‌های استفاده‌ی آن است.

    بر اساس اصل ضرب از اصول شمارش، ترکیب دو عدد از رابطه‌ی زیر قابل محاسبه است:

\[\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} = \frac{n!}{(n-r)!\cdot r!} \]

دترمینان ماتریس مربعی - که به صورت $ \vert A \vert $ یا $ det( A ) $ نمایش داده می‌شود - یکی از مفاهیم مشهور جبر خطی است که کاربردهای بسیاری در علوم مختلف دارد. امکان محاسبه‌ی سریع دترمینان یک ماتریس با ابعاد بزرگ بحث مهمی است که در ادامه سه روش محاسباتی رایج و پیچیده‌گی زمانی آنها مرور خواهند شد.

    طبق تعریف دترمینان اگر اندازه‌ی ابعاد ماتریس مربعی یک باشد ($n = 1$)، دترمینان همان مقدار تک‌عضو آن است. یعنی:

علاقه‌مندان به مباحث مختلف طراحی الگوریتم و همینطور شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی به خوبی می‌دانند که یکی از مهمترین پارامترهای طراحی موفقیت‌آمیز یک الگوریتم، شیوه‌ی صحیح فکر کردن روی حل مسئله است. حل انواع سوالات الگوریتمی به ما کمک می‌کند ذهن خودمان را برای حل مسائل پیچیده‌تر آماده کنیم.

    مسئله‌ی برج هانوی (Tower of Hanoi) یکی از مسائل تاریخی مشهور است که در مباحث طراحی الگوریتم نیز به آن پرداخته می‌شود.

    به شکل زیر توجه کنید:

یکی از مسائل جالب طراحی الگوریتم مسئله‌ی کاشیکاری یا فرش کردن زمین با موزاییک‌ است.

    فرض کنید قطعه زمین مربعی شکل با ابعادی از توان عدد دو داریم. مثلا با ابعاد 16 متر:

    هدف فرش کردن این قطعه زمین با استفاده از موزاییک‌هایی با شکل‌های زیر است:

یکی از روش‌های پرکاربرد و محبوب برای طراحی الگوریتم‌ها روش Divide and Conquer است که در زبان فارسی به صورت تقسیم و حل یا تقسیم و غلبه ترجمه شده است.

    در این روش، داده‌ها به دو یا چند دسته تقسیم شده و حل می‌شوند. سپس با ترکیب مناسب نتایج به دست آمده از این زیرمسئله‌ها، مسئله‌ی اصلی حل می‌شود. در صورتی که زیرمسئله خود به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد، می‌توان از همین روش برای حل آن استفاده کرد. تقسیمات متوالی زیرمسئله‌ها تا جایی ادامه پیدا می‌کند که به اندازه‌ی کافی کوچک شده باشند و بتوان آنها را با روش‌های دیگر به راحتی حل نمود.

    برای آشنایی بیشتر، چند الگوریتم که با روش حل و تقسیم پیاده‌سازی شده‌اند معرفی می‌شوند.

مرتب‌سازی سریع (Quick Sort)