آموزش الگوریتم

وب‌سایت CodinGame.com یک ابزار آنلاین تمرین برنامه‌نویسی و حل مسئله بر اساس حل معماهای مختلف برنامه‌نویسی است. در این وب‌سایت معماهای مختلف برنامه‌نویسی در قالب طراحی عامل هوشمند و در سطوح مختلف وجود دارد که به کاربر کمک می‌کند با شروع از سطوح آسان استفاده از انواع ابزارهای برنامه‌نویسی برای حل مسئله را تمرین کند.

دیگر ویژگی مهم این وب‌سایت پشتیبانی آن از اکثر زبان‌های برنامه‌نویسی مرسوم است که کاربر را در انتخاب ابزار حل آزاد می‌گذارد. پس از حل مسئله نیز امتیازی به کاربر اعطا می‌شود که مجموع این امتیازات میزان تجربه‌ی کاربر در این حوزه را نشان می‌دهد.

بر اساس توضیحات فوق این سایت مناسب برای کاربرانی است که به تازگی یادگیری یک زبان برنامه‌نویسی را شروع کرده‌اند و قصد تمرین به صورت گام به گام را دارند. از سوی دیگر، معماهای سخت‌تر این وب‌سایت مناسب برای کسانی هستند که روی چالش‌های الگوریتمی و حل مسئله به صورت حرفه‌ای‌تر فعالیت دارند. بنابراین وب‌سایت برای شرکت‌کنندگان در مسابقات برنامه‌نویسی همچون ACM-ICPC و المپیاد کامپیوتر دانش‌آموزی نیز مناسب است.

کتاب Competitive Programmer's Handbook (راهنمای برنامه‌نویسان رقابتی) کتابچه‌ای است که در آن عموم مباحث مورد نیاز جهت شرکت در رقابت‌های برنامه‌نویسی همچون المپیاد کامپیوتر دانش‌آموزی یا مسابقات برنامه‌نویسی دانشجویی به صورت مختصر و مفید یک جا جمع شده است.

دکتر Antti Laaksonen از مربیان تیم‌های المپیاد کامپیوتر کشور فنلاند این کتاب را به صورت رایگان جهت استفاده‌ی عموم در سه بخش و سی فصل با عناوین زیر منتشر کرده است.

بخش اول: تکنیک‌های مقدماتی

• مقدمه
• پیچیدگی زمانی
• مرتب‌سازی
• ساختمان داده‌ها
• جستجوی جامع
• الگوریتم‌های حریصانه
• الگوریتم‌های برنامه‌نویسی پویا
• تحلیل کارآیی
• پرس و جوهای بازه‌ای
• عملیات بیتی

بخش دوم: الگوریتم‌های گراف

زمانی که برای حل یک مسئله الگوریتم طراحی می‌کنیم یا قصد استفاده از یک الگوریتم از پیش ابداع شده را داریم، عموما برایمان مهم است بدانیم کارآیی الگوریتم چگونه است و تا چه حد می‌توان روی آن حساب باز کرد. به ویژه اگر برای حل یک مسئله بیش از یک الگوریتم موجود باشد، باید بتوان آنها را به نحوی با هم مقایسه کرد. گاهی چنین مقایسه‌ای بر اساس قابلیت پیاده‌سازی یا میزان سادگی پیاده‌سازی است. اما در بسیاری مواقع سرعت تولید خروجی الگوریتم بسیار مهمتر از پیچیدگی پیاده‌سازی یا مدت زمان مورد نیاز برای پیاده‌سازی است. به همین دلیل طراحی یک الگوریتم کارا بسیار مهم است و در مسابقات برنامه‌نویسی همچون ACM-ICPC نیز این توانایی محک می‌خورد. در کنار این موضوع، ممکن است میزان حافظه‌ی مورد نیاز هم مهم باشد.

یک راه ساده برای مقایسه‌ی کارایی دو الگوریتم، پیاده‌سازی هر دو و بررسی زمان اجرا با ورودی‌های یک شکل است! این روش در عمل همواره ممکن نیست. دلیل اول آن است که در چنین حالتی باید سعی کنیم برنامه‌های الگوریتم‌ها را به بهترین حالت ممکن پیاده‌سازی کنیم و صرفا دغدغه‌ی کارایی الگوریتم را داشته باشیم. این شرط همواره مهم است و زمانی که کارایی دو الگوریتم بررسی می‌شود، به شرط پیاده‌سازی درست آنها است. چرا که یک پیاده‌سازی بد نتیجه‌ی استفاده از الگوریتم خوب را از بین می‌برد. اما هر پیاده‌سازی همواره با ابهام بهینه بودن همراه است و نمی‌توان مطمئن بود بهترین پیاده‌سازی ممکن است. مخصوصا اگر الگوریتم مورد نظر پیچیده باشد. از سوی دیگر، به صرف چند ورودی مشخص و نتایج آنها نمی‌توان از عملکرد کل الگوریتم مطمئن شد. ممکن است برای یک ورودی کوچک و حتی نه چندان کوچک یک الگوریتم بهتر از دیگری اجرا شود و اگر اندازه‌ی ورودی بزرگتر شود، نتیجه برعکس گردد یا حتی تغییرات متناقضی داشته باشند. یا آنکه ممکن است به ازای برخی ورودی‌ها زمان بسیار زیادی برای تولید خروجی نیاز باشد که در عمل آن میزان انتظار مقرون به صرفه نیست.

ویدئوهای جلسات آموزشی طراحی و تحلیل الگوریتم پروفسور Tim Roughgarden دانشگاه استنفورد از طریق پیوندهای زیر قابل مشاهده است. در این دوره هر الگوریتم یا ساختمان داده‌ی بحث شده، همراه با  تحلیل، مثال‌های کاربردی یا جایگاه مورد نیاز آنها است.

جلسه‌ی اول

۱- چرا مطالعه‌ی الگوریتم؟

۲- ضرب اعداد صحیح

۳- الگوریتم ضرب Karatsuba

۴- درباره‌ی دوره

مستندات دوره‌ی «Introduction to Programming Contests» دانشگاه استنفورد با تدریس Jaehyun Park (مربی تیم‌های ACM-ICPC این دانشگاه) شامل اسلایدها، سوالات برگزیده برای تمرین در موضوعات مختلف ریاضیات، ساختمان داده‌ها و الگوریتم‌ها به همراه نکات برنامه‌نویسی از پیوند زیر قابل مشاهده و دریافت هستند:

CS 97SI: Introduction to Programming Contests

بسیاری از فرآیندهای طبیعی از جمله ترکیب ساختار بدن موجودات زنده نظم مشخصی دارند و از دنباله‌ی اعدادی تبعیت می‌کنند که امروزه با نام دنباله‌ی اعداد فیبوناچی (فیبوناتچی - Fibonacci) شناخته می‌شود. مشهورترین خاصیت این اعداد نسبت دو جمله‌ی متوالی آنها به ازای جملات بزرگ دنباله است که به عدد طلایی مشهور است.

این دنباله از جمله دنباله‌های عددی است که در طراحی سوالات مسابقات برنامه‌نویسی نیز استفاده می‌شود و گاهی در حل سوالات کاربرد دارد. از این رو آشنایی با روش‌های مختلف تولید جملات آن حائز اهمیت است.

\[ F_n= \left \{\begin{matrix} F_{n-1} + F_{n-2} & & & \; n > 1\\ 1 & & & \; n = 1 \\ 0 & & & n = 0 \end{matrix}\right. \]

کتاب Introduction to Algorithms: A Creative Approach را می‌توان مکملی بر استفاده از کتاب Introduction to Algorithms (مشهور به کتاب CLRS) دانست. در این کتاب علاوه بر معرفی تکنیک‌های مختلف طراحی الگوریتم‌ها و روش‌های حل برخی مسائل الگوریتمی، روش‌های تحلیل و حل آنها با جزئیات بیشتر و به صورت گام به گام بررسی شده است. به همین دلیل نیز از جمله منابع اصلی پیشنهادی به متقاضیان شرکت در المپیادهای کامپیوتر و مسابقات برنامه‌نویسی برای یادگیری طراحی و تحلیل الگوریتم‌ها است.

الگوریتم جستجوی اول عمق (Depth First Search - DFS) الگوریتمی مشابه الگوریتم جستجوی اول سطح (BFS) برای پیمایش گراف است. این دو الگوریتم خواص و کاربردهای مشترک بسیاری دارند و تفاوت اصلی در این است که در هر تکرار الگوریتم DFS تنها یکی از گره‌های مجاور گره پردازش شده برای مرحله‌ی بعد انتخاب می‌شود. به این ترتیب، الگوریتم DFS به جای صف از یک پشته برای مشخص کردن مسیر پیمایش استفاده می‌کند.

الگوریتم DFS با فرض انتخاب گره مبدأ به عنوان گره جاری از مراحل زیر تشکیل یافته است:

کتاب Introduction to Algorithms (مشهور به کتاب CLRS) از انتشارات MIT اثر Thomas H. Cormen، Charles E. Leiserson، Ronald L. Rivest و Clifford Stein کتاب جامع مباحث الگوریتم‌ها و ساختمان داده‌ها است که منبع درسی بسیاری از دانشگاه‌های معتبر بوده و تا کنون بیش از سی هزار مقاله و کتاب با ارجاع به آن نگارش یافته است. مطالب این کتاب از مباحث اولیه مانند مفهوم تحلیل و طراحی الگوریتم آغاز شده و مباحث پیشرفته‌ی طراحی الگوریتم‌ها و ساختمان داده‌ها را نیز پوشش می‌دهد. به همین دلیل مطالعه و استفاده از آن به عنوان مرجع برای کلیه‌ی علاقمندان مباحث طراحی الگوریتم‌ها، ساختمان داده‌ها و همینطور شرکت‌کنندگان المپیادهای کامپیوتری و مسابقات برنامه‌نویسی توصیه می‌شود.

الگوریتم فلوید-وارشال (Floyd-Warshall) یک الگوریتم مبتنی بر روش برنامه‌نویسی پویا برای محاسبه‌ی کوتاهترین مسیر بین هر دو جفت گره گراف‌های وزن‌دار است. دو الگوریتم رایج دایکسترا و بلمن-فورد روش‌های محاسبه‌ی کوتاهترین مسیر از مبدأ ثابت هستند که در صورت تکرار آنها به ازای هر گره عملکردی همانند الگوریتم فلوید-وارشال دارند. اما این الگوریتم ویژگی‌هایی دارد که آن را برجسته می‌کند:

کتاب Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science نوشته‌ای با موضوع مفاهیم اولیه‌ی ریاضیات پیوسته (CONtinuous mathematics) و ریاضیات گسسته (disCRETE mathematics) به قلم رونالد گراهام، دونالد کنوت و اُرِن پاتاشنیک - از دانشمندان بزرگ علوم ریاضیات و کامپیوتر - است . در این کتاب از بیان متفاوتی نسبت به نوشتار عموم کتاب‌های آموزش ریاضی استفاده شده و مفاهیم پایه‌ای محاسباتی علم کامپیوتر به زبان ساده و گیرا توضیح داده شده است. این مفاهیم پیش‌نیاز حل بسیاری از مسائل کامپیوتری، ریاضی و محاسبات علمی هستند. به همین دلیل، مطالعه‌ی آن به علاقه‌مندان برنامه‌نویسی، بویژه شرکت‌کنندگان المپیادهای کامپیوتری و مسابقات برنامه‌نویسی توصیه می‌شود.

الگوریتم پیمایش اول سطح یا جستجوی اول سطح (Breadth First Search - BFS) از جمله الگوریتم‌های مشهور پیمایش و جستجوی گراف است که در حل مسائل الگوریتمی و هوش مصنوعی کاربرد دارد. این الگوریتم برای پیمایش و جستجوی گراف از یک صف برای نگهداری ترتیب جستجو استفاده می‌کند.

الگوریتم BFS با وارد کردن گره مبدأ به صف پردازش شروع شده و تا خالی نشدن این صف مراحل زیر را تکرار می‌شود:

1- عنصر جلوی صف را به عنوان گره جاری انتخاب و از صف حذف کن.

2- گره جاری را پردازش کن.

3- گره‌های مجاور گره جاری که پردازش نشده و در صف پردازش نیز قرار ندارند به این صف اضافه کن.

الگوریتم دایکسترا (دیکسترا، دایجسترا - Dijkstra) یک راهکار حریصانه برای یافتن کوتاهترین مسیر از مقصد ثابت (تک منبع) به سایر گره‌های گراف وزن‌دار است. این گراف می‌تواند معرف مسیرهای یک شهر و تقاطع‌های آن باشد که انبار شرکت در یک گره آن قرار داشته و هدف یافتن کوتاهترین مسیر به هر محل دیگر از این انبار است. طبیعتا این الگوریتم در یافتن کوتاهترین مسیر بین دو گره مشخص نیز کاربرد دارد. تنها شرط لازم برای استفاده از این الگوریتم نامنفی بودن وزن یال‌های گراف است.

الگوریتم دایکسترا به صورت حریصانه عمل کرده و در تکرارهای متوالی طول کوتاهترین مسیر از مبدأ به یکی از گره‌های گراف را به دست می‌آورد. در این الگوریتم از سه مجموعه استفاده می‌شود:

کتاب Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual از انتشارات معتبر Springer کتاب مفیدی برای آمادگی شرکت در مسابقات برنامه‌نویسی است که نویسندگان آن به صورت گام به گام، خلاصه و مفید، به مفاهیم و نکات مهم برنامه‌نویسی، ساختمان داده‌ها، محاسبات ریاضی و طراحی الگوریتم‌ها اشاره داشته و با طرح مسائل متفاوت از هر موضوع، خواننده را به چالش حل مسئله کشیده‌اند.

در این کتاب برای هر موضوع مورد بحث تعدادی سوال از وب‌سایت UVA انتخاب و مطرح شده است. به این ترتیب خواننده علاوه بر آشنایی با مفاهیم مختلف، با نحوه‌ی طراحی سوال از آن موضوع نیز مواجه می‌شود. نویسندگان کتاب در مقدمه به این نکته اشاره داشته‌اند که در انتخاب سوال‌ها علاوه بر مرتبط بودن موضوع، جنبه‌ی سرگرمی و جذابیت نیز تا حد ممکن رعایت شده است: «گاهی موضوعات جذاب علم کامپیوتر و ریاضیات در قالب داستان‌های سرگرم کننده بیان شده است. این مسئله مطالعه‌ی موارد جذاب دیگری را پیش می‌آورد.»

روش حریصانه (Greedy) یکی از روش‌های مشهور و پرکاربرد طراحی الگوریتم‌ها است که با ساختاری ساده در حل بسیاری از مسائل استفاده می‌شود. این روش اغلب در حل مسائل بهینه‌سازی استفاده شده و در پاره‌ای مواقع جایگزین مناسبی برای روش‌هایی مانند برنامه‌ریزی پویا است. در حالت کلی این روش سرعت و مرتبه‌ی اجرایی بهتری نسبت به روش‌های مشابه خود دارد؛ اما متناسب با مسئله ممکن است به یک جواب بهینه‌ی سراسری ختم نشود.

در روش حریصانه رسیدن به هدف در هر گام مستقل از گام قبلی و بعدی است. یعنی در هر مرحله برای رسیدن به هدف نهایی، مستقل از این که در مراحل قبلی چه انتخاب‌هایی صورت گرفته و انتخاب فعلی ممکن است چه انتخاب‌هایی در پی داشته باشد، انتخابی که در ظاهر بهترین انتخاب ممکن است صورت می‌پذیرد. به همین دلیل است که به این روش، روش حریصانه گفته می‌شود. زمانی که یک دزد عجول و حریص وارد خانه‌ای می‌شود، در مسیر حرکت خود هر وسیله و کالای با ارزشی را داخل کیسه می‌اندازد. وی در این حالت چندان توجهی نمی‌کند که چه اشیائی را قبلا برداشته و ممکن است در آینده چه اشیاء گرانبهاتری به دست آورد. او در هر گام تنها از بین اشیاء دم دست خود با ارزش‌ترین آن را انتخاب کرده و به وسایل قبلی اضافه می‌کند.

معمای هشت وزیر از جمله مسائل کلاسیک مباحث طراحی الگوریتم است که در حالت کلی‌تر با عنوان معمای n وزیر یا معمای چند وزیر مطرح می‌شود.

برای افرادی که با بازی شطرنج آشنایی ندارند

وزیر مهره‌ای از مهره‌های بازی شطرنج است که می‌تواند در تمامی هشت جهت به هر تعداد خانه - تا زمانی که مهره‌ای مانع نباشد - حرکت کند. اگر در این مسیرها مهره‌ای از حریف قرار گرفته باشد، آن مهره در معرض خطر حمله توسط وزیر قرار دارد؛ یا به اصطلاح وزیر آن مهره را تهدید می‌کند.

معمای n وزیر

هدف از مسئله‌ی هشت وزیر، چیدن 8 مهره‌ی وزیر روی یک صفحه‌ی شطرنج خالی است، به قسمی که هیچ مهره‌ای مهره‌های دیگر را تهدید نکند. به عبارت دیگر، 8 وزیر باید به نحوی چیده شوند که هیچ‌کدام در بک سطر، بک ستون یا بک قطر قرار نداشته باشند. یک جواب مسئله می‌تواند به صورت زیر باشد:

مرتب‌سازی هرمی (Heap Sort) یکی از روش‌های مشهور مرتب‌سازی داده‌ها است که بر اساس خصوصیات درخت heap (هیپ، هرم یا کپه)  و عملکرد آن پیاده‌سازی شده است.

بر اساس تعریف درخت heap، در یک max-heap (یا min-heap) بزرگترین (یا کوچکترین) مقدار بین داده‌ها همواره در ریشه‌ی درخت قرار دارد. یافتن بزرگترین (یا کوچکترین) عنصر بین عناصر، هزینه‌ی ثابت ( Ө( 1 دارد. با حذف این عنصر از درخت، بزرگترین (یا کوچکترین) عنصر بعدی مجددا در ریشه قرار می‌گیرد. به این ترتیب با حذف متوالی عناصر درخت heap و درج آنها در محل جدید، یک آرایه‌ی مرتب‌شده‌ی نزولی (یا صعودی) به دست خواهد آمد.

روش مرتب‌سازی ادغامی (Merge Sort) یک روش مرتب‌سازی مبتنی بر مقایسه‌ی عناصر با استفاده از روش تقسیم و غلبه است. این روش از مراحل بازگشتی زیر تشکیل یافته است:

1- آرایه را به دو زیرآرایه با اندازه‌ی تقریبا یکسان تقسیم کن.

2- دو زیرآرایه را به روش مرتب‌سازی ادغامی مرتب کن.

3- دو زیرآرایه‌ی مرتب‌شده را ادغام کن.

روش مرتب‌سازی سریع (Quick Sort) یکی از الگوریتم‌های مشهور مرتب‌سازی داده‌ها است. این الگوریتم طی مراحل بازگشتی زیر یک روش تقسیم و غلبه برای مرتب کردن داده‌ها ارائه می‌نماید:

1- انتخاب عنصر محوری: یکی از عناصر آرایه به عنوان عنصر محوری (pivot) - به عنوان مثال عنصر اول - انتخاب می‌شود.

2- تقسیم آرایه: چینش عناصر آرایه به قسمی تغییر داده می‌شود که تمامی عناصر کوچکتر یا مساوی محور در سمت چپ آن و تمامی عناصر بزرگتر در سمت راست آن قرار بگیرند. این دو قسمت زیر آرایه‌های چپ و راست نامیده می‌شوند.

دنباله‌ی اعداد کاتالان (Catalan Numbers) یکی از دنباله‌های عددی مشهور ریاضیات است که برای عدد نامنفی n به صورت $C_n$ نمایش داده می‌شود.

$C_n:\qquad 1,\;1,\;2,\;5,\;14,\;42,\;132,\;429,\;1430,\;4862,\;16796,\;\cdots$

این دنباله کاربردهای بسیاری در مسائل شمارشی دارد. از جمله:

1- تعداد درخت‌های دودویی با n رأس داخلی برابر $C_n$ است:

روش مرتب‌سازی درجی (Insertion Sort) یکی از روش‌های مقدماتی مرتب‌سازی مبتنی بر مقایسه‌ی عناصر است که در مقایسه با روش‌های دیگر بیشتر مورد توجه قرار دارد.

قفسه‌ی کتابی را در نظر بگیرید که قصد دارید کتاب‌ها را بر اساس عنوان و به ترتیب حروف الفبا مرتب کنید. از یک سمت قفسه شروع به مرتب کردن می‌کنید. ابتدا کتاب دوم را با کتاب اول مقایسه کرده و در صورت لزوم جابجا می‌کنید. سپس کتاب سوم را از محل خود برداشته و در مقایسه با دو کتاب قبلی در محل مناسب قرار می‌دهید. به همین ترتیب کتاب‌های بعدی را نیز نسبت به کتاب‌های مرتب‌شده‌ی قبلی در محل مناسب درج می‌کنید تا به آخر قفسه برسید.

عملکرد این الگوریتم به گونه‌ای است که در پایان هر مرحله قسمتی از داده‌ها به صورت کامل مرتب هستند. در مرحله‌ی بعدی نیز داده‌ای از میان داده‌های غیرمرتب به این قسمت مرتب وارد شده و در محل مناسب درج می‌شود. اگر بخواهیم با روش مرتب‌سازی درجی لیست اعداد زیر را به صورت صعودی (کوچک به بزرگ) مرتب ‌کنیم، در پایان هر مرحله ترتیب عناصر به صورت زیر خواهد بود:

تعریف ترکیب (Combination)

تعداد حالت‌های انتخاب r (عدد صحیح و نامنفی) شیء از n (عدد صحیح و بزرگتر یا مساوی r) شیء را که ترتیب انتخاب اهمیت نداشته باشد، انتخاب r از n یا ترکیب r روی n گویند و به یکی از صورت‌های زیر نمایش می‌دهند:

\[C(n,r) = C_r^n= \begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix} \]

این عدد به ضریب دوجمله‌ای نیز مشهور است که یکی از محل‌های استفاده‌ی آن است.

بر اساس اصل ضرب از اصول شمارش، ترکیب دو عدد از رابطه‌ی زیر قابل محاسبه است:

روش مرتب‌سازی انتخابی (Selection Sort) یکی از روش‌های اولیه‌ی مرتب‌سازی بر اساس مقایسه‌ی عناصر است. این الگوریتم طی چند مرحله عناصر لیست را به صورت صعودی یا نزولی مرتب می‌کند. به این ترتیب که در هر مرحله با بررسی عناصر نامرتب، بزرگترین (یا کوچکترین) عنصر را پیدا کرده و به انتهای لیست منتقل می‌کند.

لیست اعداد زیر را در نظر بگیرید که باید به صورت صعودی (کوچک به بزرگ) مرتب شود:

2 8 4 1 7

در مرحله‌ی اول، کل لیست از ابتدا تا انتها بررسی شده و بزرگترین عنصر با عنصر انتهای لیست نامرتب جابجا می‌شود:

یکی از روش‌های مرتب‌سازی، روش مرتب‌سازی حبابی (Bubble Sort) است که به آن روش تعویض استاندارد (Standard Exchange) نیز می‌گویند. این روش شامل چند مرحله است که در هر مرحله یک عنصر از لیست به طور قطع در محل مناسب خود قرار می‌گیرد.

لیست زیر را در نظر بگیرید که می‌خواهیم به صورت صعودی (از کوچک به بزرگ) مرتب کنیم:

4  3  8  1  6  2

عنصر اول را با دومی مقایسه کرده و در صورتی که اولی بزرگتر باشد، جای آنها را تعویض می‌کنیم:

1 - 1)    4  3  8  1  6  2    →    3  4  8  1  6  2

علاقه‌مندان به مباحث مختلف طراحی الگوریتم و همینطور شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی به خوبی می‌دانند که یکی از مهمترین پارامترهای طراحی موفقیت‌آمیز یک الگوریتم، شیوه‌ی صحیح فکر کردن روی حل مسئله است. حل انواع سوالات الگوریتمی به ما کمک می‌کند ذهن خودمان را برای حل مسائل پیچیده‌تر آماده کنیم.

مسئله‌ی برج هانوی (Tower of Hanoi) یکی از مسائل تاریخی مشهور است که در مباحث طراحی الگوریتم نیز به آن پرداخته می‌شود.

به شکل زیر توجه کنید:

سه میله‌ی - میله‌ی مبدأ (A) ، میله‌ی کمکی (B) و میله‌ی مقصد (C) - و تعدادی دیسک در میله‌ی مبدأ داریم. هدف انتقال تمام دیسک‌ها از این میله به میله‌ی مقصد با رعایت دو شرط زیر است:

وب‌سایت UVa یکی از وب‌سایت‌هایی است که امکانات مفیدی را برای علاقه‌مندان حل سوالات الگوریتمی و شرکت‌کنندگان مسابقات برنامه‌نویسی (بالاخص ACM) مهیا کرده است. در این وب‌سایت مجموعه سوالاتی در سطوح مختلف و مشابه سوالات مسابقات برنامه‌نویسی بین‌المللی در دسترس عموم قرار گرفته است که علاقه‌مندان می‌توانند پس از عضویت در سایت، پاسخ هر سوالی را که حل کرده‌اند، ارسال کنند. این جواب‌ها بررسی شده و درست یا نادرست بودن آن به کاربر ابلاغ می‌شود. می‌توان گفت نوعی شبیه‌سازی مسابقات برنامه‌نویسی رسمی انجام می‌گیرد.

یکی از شرکت‌کنندگان مسابقات ACM به نام احمد شمس العارفین (Ahmed Shamsul Arefin) از کشور بنگلادش - که فعالیت‌های گسترده‌ی دیگری مانند وب‌سایت www.acmsolver.org نیز دارد - اقدام به انتشار کتاب رایگانی در مورد آمادگی مسابقات برنامه‌نویسی از طریق همین وب‌سایت نموده است.

یکی از مسائل جالب طراحی الگوریتم مسئله‌ی کاشیکاری یا فرش کردن زمین با موزاییک‌ است.

فرض کنید قطعه زمین مربعی شکل با ابعادی از توان عدد دو داریم. مثلا با ابعاد 16 متر:

هدف فرش کردن این قطعه زمین با استفاده از موزاییک‌هایی با شکل‌های زیر است:

همه‌ی ما با تعریف ضرب ماتریس‌های مربعی آشنایی داریم. حاصلضرب ماتریس‌های مربعی A و B به صورت زیر تعریف می‌شود:

\[ A=(a_{ij})_{n \times n} = \qquad , \qquad B=(b_{ij})_{n \times n} \] \[ C = A \times B = (c_{ij})_{n \times n} \qquad ; \qquad c_{ij}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \; b{kj} \]

به عنوان مثال در حالت $n = 2$ داریم:

\[ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix} \]

مسئله‌ی ضرب زنجیره‌ای ماتریس‌ها و پرانتزبندی بهینه‌ی آن یکی از مثال‌های مشهور کاربرد برنامه‌نویسی پویا در حل مسائل بهینه‌سازی است.

فرض کنید قصد داریم حاصلضرب عبارت ماتریسی $ A_{3 \times 7} \times B_{7 \times 8 } \times C_{8 \times 4} $ را محاسبه کنیم. می‌دانیم که ضرب ماتریس‌ها خاصیت شرکت‌پذیری داشته، اما خاصیت جابجایی ندارد. بنابراین رعایت ترتیب ضرب آنها مهم است. پرانتزبندی‌های مختلف ضرب ماتریس‌ها حالت‌های مختلف محاسبه آن را به ما می‌دهند:

\[1: A \times (B \times C) \]

\[2: (A \times B) \times C \]

در حالت اول ابتدا B در C ضرب شده و سپس حاصل آنها در A ضرب می‌شود؛ و در حالت دوم ابتدا A و B در هم ضرب شده و سپس نتیجه در C ضرب می‌شود. حال سوال این است که آیا این پرانتزبندی‌ها تفاوتی با هم دارند؟

یکی از روش‌های پرکاربرد و مشهور طراحی الگوریتم روش برنامه‌نویسی پویا (یا برنامه‌ریزی پویا، برنامه‌سازی پویا - Dynamic Programming) است. این روش همچون روش تقسیم و حل (Divide and Conquer) بر پایه‌ی تقسیم مسئله بر زیرمسئله‌ها کار می‌کند. اما تفاوت‌های چشم‌گیری با آن دارد.

زمانی که یک مسئله به دو یا چند زیرمسئله تقسیم می‌شود، دو حالت ممکن است پیش بیاید:

1- داده‌های زیرمسئله‌ها هیچ اشتراکی با هم نداشته و کاملا مستقل از هم هستند. نمونه‌ی چنین مواردی مرتب‌سازی آرایه‌ها با روش ادغام یا روش سریع است که داده‌ها به دو قسمت تقسیم شده و به صورت مجزا مرتب می‌شوند. در این حالت داده‌های یکی از بخش‌ها هیچ ارتباطی با داده‌های بخش دیگر نداشته و در نتیجه حاصل از آن بخش اثری ندارند. معمولا روش تقسیم و حل برای چنین مسائلی کارآیی خوبی دارد.

یکی از روش‌های پرکاربرد و محبوب برای طراحی الگوریتم‌ها روش Divide and Conquer است که در زبان فارسی به صورت تقسیم و حل یا تقسیم و غلبه ترجمه شده است.

در این روش، داده‌ها به دو یا چند دسته تقسیم شده و حل می‌شوند. سپس با ترکیب مناسب نتایج به دست آمده از این زیرمسئله‌ها، مسئله‌ی اصلی حل می‌شود. در صورتی که زیرمسئله خود به اندازه‌ی کافی بزرگ باشد، می‌توان از همین روش برای حل آن استفاده کرد. تقسیمات متوالی زیرمسئله‌ها تا جایی ادامه پیدا می‌کند که به اندازه‌ی کافی کوچک شده باشند و بتوان آنها را با روش‌های دیگر به راحتی حل نمود.

برای آشنایی بیشتر، چند الگوریتم که با روش حل و تقسیم پیاده‌سازی شده‌اند معرفی می‌شوند.

مرتب‌سازی سریع (Quick Sort)

در روش مرتب‌سازی سریع داده‌های ورودی را بر حسب یکی از عناصر به نام محور به دو قسمت نه لزوما هم‌اندازه تقسیم کرده و هر کدام را جداگانه مرتب می‌کنیم.